【数据结构基础C++】图论08-Prim 算法实现最小生成树

1.最小生成树Minimum Span Tree

在一个含有n个顶点，m条边，带权无向连通图中，存在一个含有n个顶点，n-1条边，且权值总和最小的一棵树；

1.1 存在个数

最小生成树可能有多个，当有相同权值的边时，可以选择其中一条边。当图中每一条边的权值都相同，该图的左右生成树都是最小生成树；

唯一性：当图中的每一条边的权值都不相同时，最小生成树是唯一的。

1.2 切分定理 Cut Property

在图中找到n-1条边，连接n个顶点，总权值最小；
【切分】：把图中的结点分为两部分；

【横切边】：如果一个边的两个端点，属于切分不同的两边，这个边称为横切边；（图中红色的边）

【切分定理】：在一幅连通加权无向图中，给定任意的切分，如果有一条横切边的权值严格小于所有其他横切边，则这条边必然属于图的最小生成树；
（上图中7-0边的权值0.16 是最小生成树的一部分）

1.3 应用

• 电缆布线设计
• 网络设计
• 电路设计等

2.普利姆算法

Prim 算法的每一步都会为一棵生长中的树添加一条边，该树最开始只有一个顶点。

1. 选一个起始结点做切分，找到横切边中最小那个边。蓝色集合，红色集合为切分；
   
2. 图中最小的横切边 0-7，权值0.16，而顶点7没有被访问过，则将顶点 7 加入红色结点集合 {0,7}，形成新的切分；
   
3. {0,7} 顶点与其他结点形成新的横切边；
   
4. 选出横切边最小的权值边，图中 7-1 边
5. 重复切分，选横切边
   
6. 在横切边中选出最小的权值边，可以用数据结构 最小堆 实现。

3.代码

#pragma once
#include