【代数学习题4.1】从零理解范数与迹 —— 求极小多项式

写在前面

欢迎来到我们的数学探索之旅！在这篇博客中，我们将深入探讨两个在代数领域极为重要的概念：范数和迹。
这些概念不仅在理论数学中扮演着核心角色，而且在实际应用中，如密码学和数值分析中，也有着广泛的应用。
我们的目标是从零开始，帮助完全理解这些概念，以及如何在实际问题中求解它们。

首先，我们将简要解释什么是范数和迹，这些概念虽然抽象，但在理解代数结构和解决复杂的数学问题时非常关键。

范数 是一个数域中元素的一个基本属性，代表其“大小”或“长度”，
而 迹 则是衡量数域中元素的一种方式，反映了其所有共轭元素的总和。

然后，我们会通过一系列具体的题目，逐步引导你如何计算范数和迹，以及如何找到一个元素的极小多项式——这是求解范数和迹的关键步骤。

关于解答：

1. 极小多项式：我们会详细解释什么是极小多项式以及如何求得它。极小多项式是理解范数和迹的基础，它提供了一种有效的方式来探讨数域中的元素。

2. 极小多项式的求法：我们将介绍如何手动和使用Python来求解极小多项式，确保你能够在不同的情境下都能找到解答。

3. 针对具体元素的极小多项式：我们将逐一解析不同元素（如 $\alpha$, $\alpha +1$, ${\alpha }^2+\alpha +1$）的极小多项式，并展示如何使用Python来辅助求解。

通过这篇博客，希望能够帮助更好地理解这些复杂但基础的代数概念，并在实际问题中运用它们。

让我们一起开始这次数学之旅吧！

概念解释

1. 数域（Number Field）：数域是复数域的子集，包含有理数域 $\mathbb{Q}$ 及其扩展。例如，$\sqrt[3]{2}\mathbb{Q}$ 是有理数域扩展的数域。

2. 极小多项式（Minimal Polynomial）：一个代数数的极小多项式是具有最低次数的首一多项式（leading coefficient is 1），且该多项式以该代数数为根。

3. 范数（Norm）：一个数域中元素的范数是其最小多项式的所有根的乘积。

4. 迹（Trace）：一个数域中元素的迹是其最小多项式的所有根的和。

题目

设 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$, $K=\mathbb{Q}(\alpha )$，试求：

1. $\alpha$, $\alpha +1$, ${\alpha }^2+\alpha +1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式；
2. $N(2)$, $N(\sqrt[3]{2})$, $N(\sqrt{-2})$, $N(\alpha )$, $N(\alpha +5)$, $N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的范数；
3. $N_K(2)$, $N_K(\sqrt[3]{2})$, $N_K\sqrt{-2}$, $N_K(\alpha +5)$, $N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的数域 $K$ 范数；
4. $T(2)$, $T(\sqrt[3]{2})$, $T(\sqrt{-2})$, $T(\alpha )$, $T(\alpha +5)$, $T(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的迹；
5. $T_K(2)$, $T_K(\sqrt[3]{2})$, $T_K(\sqrt{-2})$, $T_K(\alpha +5)$, $T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的数域 $K$ 迹。

解答

1. 极小多项式：
   • 对于 $\alpha$，我们首先需要找到一个有理系数的多项式，使 $\alpha$ 是其根。由于 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$，我们可以构建一个多项式 $(x-\sqrt[3]{2}-\sqrt{-2})$，并进行多项式扩展来找到其极小多项式。
   • 对于 $\alpha +1$ 和 ${\alpha }^2+\alpha +1$，采用类似的方法。

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1. 极小多项式

【题目】设 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$, $K=\mathbb{Q}(\alpha )$，试求：

1. $\alpha$, $\alpha +1$, ${\alpha }^2+\alpha +1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式；

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要解决这个问题，我们需要先确定 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$ 的极小多项式，然后用同样的方法找到 $\alpha +1$ 和 ${\alpha }^2+\alpha +1$ 的极小多项式。
极小多项式 是一个在给定数域（这里是 $\mathbb{Q}$）上不能被更低阶多项式整除的首一多项式，且该多项式以所考虑的元素为根。

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极小多项式的求法

1. 构造多项式：首先构造一个多项式，使得 $\alpha$ 是它的根。我们可以通过消去根中的根号来做到这一点。

2. 验证多项式的不可约性：验证所构造的多项式在 $\mathbb{Q}$ 上是不可约的，即它不能被分解成更低阶的多项式的乘积。

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1. 对 $\alpha$ 的极小多项式

1. 表达式变换：设 $f(x)=x-\alpha =x-\sqrt[3]{2}-\sqrt{-2}$。
2. 消去根号：

   • 首先处理 $\sqrt[3]{2}$：

     $$\begin{array}{rl}(x-\sqrt{-2}{)}^3& =2\\ x^3-3x^2\sqrt{-2}+6x-2\sqrt{-2}-2& =0\end{array}$$

   • 然后处理 $\sqrt{-2}$，通过平方两边来消除根号：

     $$\begin{array}{rl}(x^3+6x-2{)}^2& =(3x^2\sqrt{-2}+2\sqrt{-2}{)}^2\\ x^6+6x^4-4x^3+12x^2+24x+12& =0\end{array}$$

   • 因此，$\alpha$ 的极小多项式为 $f(x)=x^6+6x^4-4x^3+12x^2+24x+12$。

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python求解

为了找到 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，我们将使用 Python 的 SymPy 库中的 minimal_polynomial 函数。这个函数可以帮助我们找到一个不可约的多项式，该多项式在 $\mathbb{Q}$ 上有 $\alpha$ 为根。

让我们开始计算 $\alpha$ 的极小多项式：

from sympy import symbols, I, expand, sqrt, cbrt, minimal_polynomial

# 定义符号
x = symbols('x')

# 定义 alpha 
alpha = cbrt(2) + sqrt(-2)

# 计算 alpha 其极小多项式
min_poly_alpha = minimal_polynomial(alpha, x)

# 展开多项式并获取系数
expanded_min_poly_alpha = expand(min_poly_alpha)

expanded_min_poly_alpha, min_poly_alpha.as_expr()

我们找到了 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$ 的极小多项式，该多项式是：$f(x)=x^6+6x^4-4x^3+12x^2+24x+12$，非常好，和我们手动计算的结果一致。

这个多项式是在 $\mathbb{Q}$ 上不可约的，并且它使得 $f(\alpha )=0$。因此，这是 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式。通过使用 SymPy 的 minimal_polynomial 函数，我们能够直接计算出这个多项式，避免了手动进行复杂的代数运算。

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2. 对 $\alpha +1$ 的极小多项式

我们用类似的方法来处理 $\alpha +1$。

设 $\beta =\alpha +1=\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}+1$。我们的目标是找到一个多项式 $g(x)$，使得 $g(\beta )=0$。

1. 表达式变换：设 $g(x)=x-\beta =x-\sqrt[3]{2}-\sqrt{-2}-1$

2. 消去根号：

   • 首先处理 $\sqrt[3]{2}$：
     $$\begin{array}{r}(x-\sqrt{-2}-1{)}^3=2\\ x^3-3x^2(\sqrt{-2}+1)+3x(2\sqrt{-2}+1)-(1+3\sqrt{-2}+2)=0\end{array}$$

   • 然后处理平方根 $\sqrt{-2}$：

     通过平方整个表达式来消除 $\sqrt{-2}$，得到一个仅含有理数系数的多项式。

3. 得到多项式：
   得到的多项式 $g(x)$ 就是 $\beta$ 的一个候选多项式。这一步骤需要一些代数操作，涉及到较为复杂的乘法和整理。因此直接用python来代替完成。

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python找到多项式

要找到 $\alpha +1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，我们首先定义 $\alpha +1$，然后构造一个多项式，使得 $\alpha +1$ 是它的根。通过消除根号来构建这个多项式，最后验证这个多项式的不可约性。我们将使用 Python 来辅助计算。

设 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$，则 $\alpha +1=\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}+1$。我们的目标是找到一个多项式 $f(x)$，使得 $f(\alpha +1)=0$。

我们可以通过以下步骤来找到这个多项式：

1. 将 $\alpha +1$ 代入 $x$ 中，得到 $f(x)=x-(\alpha +1)$。

2. 消除表达式中的根号，使其成为一个只包含有理数系数的多项式。

3. 确认这个多项式是不可约的。

让我们使用 Python 来进行这些计算。

from sympy import symbols, expand, sqrt, cbrt, Poly, simplify

# 定义符号
x = symbols('x')

# 定义 alpha 和 alpha + 1
alpha = cbrt(2) + sqrt(-2)
alpha_plus_one = alpha + 1

# 构造多项式 f(x) = x - (alpha + 1)
f_x = x - alpha_plus_one

# 展开并简化多项式
expanded_f_x = expand(f_x**6)

# 生成多项式并提取系数
polynomial = Poly(expanded_f_x, x)
coefficients = polynomial.all_coeffs()

# 简化系数
simplified_coefficients = [simplify(coef) for coef in coefficients]

simplified_coefficients, polynomial.as_expr()

我们找到了 $\alpha +1$ 的一个多项式表示。多项式 $f(x)$ 的系数是：
$$f(x)=x^6+(-6\sqrt[3]{2}-6-6\sqrt{2}i)x^5+(-15+15\sqrt[3]{4}+30\sqrt[3]{2}+30\sqrt{2}i+30\sqrt[6]{32}i)x^4+(-60\sqrt[3]{4}+60+60\sqrt[3]{2}-120\sqrt[6]{32}i-120\sqrt[6]{8}i-20\sqrt{2}i)x^3+(-270\sqrt[3]{2}-90\sqrt[3]{4}+15+60\sqrt{2}i+60\sqrt[6]{32}i+360\sqrt[6]{8}i)x^2+(114+150\sqrt[3]{2}+288\sqrt[3]{4}-174\sqrt{2}i-120\sqrt[6]{8}i+60\sqrt[6]{32}i)x173-93\sqrt[3]{4}-24\sqrt[3]{2}-96\sqrt[6]{8}i-6\sqrt[6]{32}i+30\sqrt{2}i$$

这个多项式是 $\alpha +1$ 的一个可能的极小多项式。但要注意，它可能不是最低阶的极小多项式。为了确保我们找到的是极小多项式，需要进一步检查这个多项式的不可约性。这通常需要使用专门的代数软件或理论方法，因为不可约性的判断可能非常复杂。如果这个多项式是可约的，我们还需要进一步降低其阶数，直到找到一个在 $\mathbb{Q}$ 上不可约的多项式。

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python找到极小多项式

要找到 $\alpha +1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，我们将使用 Python 的 SymPy 库来帮助我们进行符号计算。我们首先定义 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$，然后通过适当的代数运算来构造一个多项式 $f(x)$，使得 $f(\alpha +1)=0$。接下来，我们需要确保这个多项式是不可约的，这通常可以通过检查它是否能被分解为更低阶的多项式来完成。

让我们开始这个过程：

from sympy import symbols, I, expand, sqrt, cbrt, minimal_polynomial

# 定义符号
x = symbols('x')

# 定义 alpha 和 alpha + 1
alpha = cbrt(2) + sqrt(-2)
alpha_plus_one = alpha + 1

# 计算 alpha + 1 的极小多项式
min_poly_alpha_plus_one = minimal_polynomial(alpha_plus_one, x)

# 展开多项式并获取系数
expanded_min_poly = expand(min_poly_alpha_plus_one)

expanded_min_poly, min_poly_alpha_plus_one.as_expr()

我们找到了 $\alpha +1$ 的极小多项式，该多项式是：

$f(x)=x^6-6x^5+21x^4-48x^3+75x^2-42x+11$

这个多项式是在 $\mathbb{Q}$ 上不可约的，并且它使得 $f(\alpha +1)=0$。因此，这是 $\alpha +1=\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}+1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式。通过使用 SymPy 的 minimal_polynomial 函数，我们能够直接计算出这个多项式，这样就避免了手动进行复杂的代数运算。

3. 对 ${\alpha }^2+\alpha +1$ 的极小多项式

• 同样，设 $h(x)=x-({\alpha }^2+\alpha +1)$ 并重复以上步骤。

注意，这里提供的是计算极小多项式的一般方法，具体计算可能非常复杂，尤其是涉及到更高次方和根号。在实际操作中，可能需要使用计算软件来辅助完成这些计算。此外，验证多项式的不可约性也是一个重要步骤，可能需要使用专业的数学软件或理论知识。

python求解

为了求出 ${\alpha }^2+\alpha +1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，其中 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$，我们将使用 Python 的 SymPy 库中的 minimal_polynomial 函数。这个函数能够帮助我们找到一个不可约的多项式，该多项式在 $\mathbb{Q}$ 上有 ${\alpha }^2+\alpha +1$ 为根。

让我们计算 ${\alpha }^2+\alpha +1$ 的极小多项式：

from sympy import symbols, I, expand, sqrt, cbrt, minimal_polynomial

# 定义符号
x = symbols('x')

# 定义 alpha 和 alpha + 1
alpha = cbrt(2) + sqrt(-2)
alpha_plus_one = alpha + 1
# 定义 alpha^2 + alpha + 1
alpha_squared_plus_alpha_plus_one = alpha**2 + alpha + 1

# 计算 alpha^2 + alpha + 1 的极小多项式
min_poly_alpha_squared = minimal_polynomial(alpha_squared_plus_alpha_plus_one, x)

# 展开多项式并获取系数
expanded_min_poly_alpha_squared = expand(min_poly_alpha_squared)

expanded_min_poly_alpha_squared, min_poly_alpha_squared.as_expr()

我们找到了 ${\alpha }^2+\alpha +1$ （其中 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$）在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，该多项式是：

$f(x)=x^6+6x^5+9x^4+176x^3+615x^2-1062x+387$

这个多项式是在 $\mathbb{Q}$ 上不可约的，并且它使得 $f({\alpha }^2+\alpha +1)=0$。因此，这是 ${\alpha }^2+\alpha +1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式。通过使用 SymPy 的 minimal_polynomial 函数，我们能够直接计算出这个多项式，从而避免了手动进行复杂的代数运算。

prompt

你是代数学专家，这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。
请你请给出完整的题目、题目相关的概念解释、具体的答案解析。
请用md语法编辑，$latex符号、公式$。例如，将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为$\sqrt[3]{2}\mathbb{Q}$

你是代数学专家，这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。
给出清晰详细的计算过程，以及具体的答案
请用md语法编辑，$latex符号、公式$。例如，将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为$\sqrt[3]{2}\mathbb{Q}$

你是代数学专家，这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。
给出清晰详细的计算过程，以及具体的答案。可以用python 中 SymPy 的 minimal_polynomial 函数求解
请用md语法编辑，$latex符号、公式$。例如，将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为$\sqrt[3]{2}\mathbb{Q}$
【题目】