【代数学习题4.2】从零理解范数与迹 —— 求数域元素的范数与迹

写在最前面

注：2345小问都是基于1问（求解极小多项式）的答案来求解的

欢迎进入数学的精彩世界！本篇博客将带您深入探索数域理论中的两个核心概念：范数和迹。这些概念不仅在高等数学中占据重要地位，而且在解决现代科学和工程问题中扮演着关键角色。无论您是数学爱好者还是专业人士，本篇博客都将从最基础的概念开始，带您逐步掌握这些复杂但迷人的概念。

我们将通过一系列具体的例子和问题，来逐步解释和演示如何计算数域中元素的范数和迹。这些问题不仅帮助理解基础理论，还能提高解决实际问题的能力。
在每个部分，我们都将提供详细的思路、求解过程和分析，确保不仅能跟随步骤解决问题，还能深入理解背后的数学原理。

1. 范数 (N)：我们将讨论范数的基本概念，解释它在数域理论中的重要性，以及如何计算一个数域元素的范数。

2. 数域 (K) 中的范数 (N_K)：这部分将深入探讨在特定数域中计算元素范数的方法，包括其数学原理和求解步骤。

3. 迹 (T)：我们将介绍迹的概念，探讨它如何反映数域中元素的性质，并展示如何手动以及使用Python计算迹。

4. 数域 (K) 中的迹 (T_K)：这一部分将与第四小问相似，但更加侧重于在特定数域中计算迹的方法和步骤。

通过这篇博客，我们的目标是不仅理解这些概念，还能将它们应用于复杂的数学问题中。

让我们一起踏上这段数学之旅，探索范数和迹的奥秘！

题目

设 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$, $K=\mathbb{Q}(\alpha )$，试求：

1. $\alpha$, $\alpha +1$, ${\alpha }^2+\alpha +1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式；
2. $N(2)$, $N(\sqrt[3]{2})$, $N(\sqrt{-2})$, $N(\alpha )$, $N(\alpha +5)$, $N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的范数；
3. $N_K(2)$, $N_K(\sqrt[3]{2})$, $N_K\sqrt{-2}$, $N_K(\alpha +5)$, $N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的数域 $K$ 范数；
4. $T(2)$, $T(\sqrt[3]{2})$, $T(\sqrt{-2})$, $T(\alpha )$, $T(\alpha +5)$, $T(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的迹；
5. $T_K(2)$, $T_K(\sqrt[3]{2})$, $T_K(\sqrt{-2})$, $T_K(\alpha +5)$, $T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的数域 $K$ 迹。

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23、45两问：在数论中，计算一个元素的迹（Trace）和计算它在特定数域（如 $K$）中的迹（Trace in $K$）是两个不同的概念。

1. 元素的迹（$T(a)$）：这是指元素 $a$ 在其最小多项式的分裂域中所有共轭元素的和。这通常需要在一个比原始数域更大的域中进行计算。

2. 数域中的迹（$T_K(a)$）：这是指元素 $a$ 在特定数域 $K$ 中所有共轭元素的和。在这个情况下，共轭元素是在数域 $K$ 的范围内考虑的。

在第4题中，求的是元素在其分裂域中的迹，这通常意味着要在比原数域更大的域中考虑共轭元素。而在第5题中，我们关注的是元素在数域 $K$ 内的迹，即只考虑在数域 $K$ 中的共轭元素。

对于第5题，既然 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$，那么数域 $K=\mathbb{Q}(\alpha )$ 实际上是 $\alpha$ 的极小多项式的分裂域。这意味着在这个特定情况下，计算元素的迹和计算它在数域 $K$ 中的迹是相同的过程。因此，第四题和第五题的答案相同。

如果我们考虑一个不同的数域，比如说 $K$ 是一个更小的数域或者元素的极小多项式在 $K$ 中并不分裂，那么两个问题的答案可能会有所不同。但在这个特定的例子中，由于数域 $K$ 是由 $\alpha$ 定义的，它恰好也是 $\alpha$ 的极小多项式的分裂域，因此两个问题的答案是一致的。

解答

2. 范数：

   • 范数 $N(a)$ 是数 $a$ 的极小多项式的根的乘积。例如，$N(2)$ 就是 $2$ 的极小多项式的根的乘积，这在 $\mathbb{Q}$ 中通常是 $2$ 的幂。
   • 对于其他项，例如 $N(\alpha )$，我们需要找到 $\alpha$ 的极小多项式，并计算其根的乘积。

3. 数域 $K$ 范数：

   • $NK(a)$ 是在数域 $K$ 中的范数。这需要首先确定 $K$ 的基，并在此基础上计算范数。

4. 迹：

   • 迹 $T(a)$ 是数 $a$ 的极小多项式的根的和。例如，$T(2)$ 是 $2$ 的极小多项式的根的和。

5. 数域 $K$ 迹：

   • $TK(a)$ 是在数域 $K$ 中的迹。这也需要首先确定 $K$ 的基，然后在此基础上计算迹。

2. 范数 $N$

【题目】设 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$, $K=\mathbb{Q}(\alpha )$，试求：

2. $N(2)$, $N(\sqrt[3]{2})$, $N(\sqrt{-2})$, $N(\alpha )$, $N(\alpha +5)$, $N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的范数；

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思路

在数域 $K$ 上的范数 $N(a)$ ，是数 $a$ 的最小多项式的所有共轭元素的乘积。
对于一个数域 $\mathbb{Q}(\alpha )$，其中 $\alpha$ 是代数数，$N(a)$ 通常是 $a$ 的最小多项式的常数项的绝对值。
在数域扩展理论中，一个数的范数是指该数作为域扩展中元素的最小多项式的常数项的绝对值。

对于给定的元素，如 $2$，$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt{-2}$，$\alpha$，$\alpha +5$，以及 $\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1$，我们需要先找到它们的最小多项式，然后计算这些多项式根的乘积。

求解过程

对于简单的元素，如 $2$, $\sqrt[3]{2}$, 和 $\sqrt{-2}$，它们的最小多项式相对简单，可以直接给出范数。

对于更复杂的元素，如 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$，$\alpha +5$ 和 $\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1$，它们的最小多项式更复杂，需要更详细的计算。

1. $N(2)$:

   • 最小多项式: $x-2$
   • 范数: $|2|=2$

2. $N(\sqrt[3]{2})$:

   • 最小多项式: $x^3-2$
   • 范数: $|2|=2$

3. $N(\sqrt{-2})$:

   • 最小多项式: $x^2+2$
   • 范数: $|2|=2$

4. $N(\alpha )$ (比较复杂，需要专门的代数工具来求解):

   • $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$
   • 最小多项式: 第1问中计算过，是 $x^6+6x^4-4x^3+12x^2+24x+12$
   • 范数: $|12|=12$

5. $N(\alpha +5)$ (同样复杂，需要专门的代数工具):

   • 最小多项式: 通常需要专门的软件来求解
   • 范数: 需要计算该多项式的常数项

6. $N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ (复杂，需要专门的代数工具):

   • 最小多项式: 同样需要计算软件来求解
   • 范数: 需要计算该多项式的常数项

对于最后三个元素，由于它们的最小多项式较为复杂，通常需要使用代数软件来计算。在没有专业工具的情况下，手动计算这些范数是非常困难的。

python求解

我们将使用 Python 的 SymPy 库来计算这些元素的范数。首先，我们需要找到每个元素的极小多项式，然后取这些多项式的常数项的绝对值。

让我们计算这些范数：

出现了一个错误，看起来是因为尝试直接从一个多项式表达式中提取系数，而没有先将其转换为多项式对象。

重新进行计算，并确保正确地提取每个极小多项式的常数项。让我们再试一次：

from sympy import N

# 计算每个元素的极小多项式
min_poly_2 = minimal_polynomial(2, x)
min_poly_cbrt_2 = minimal_polynomial(cbrt(2), x)
min_poly_sqrt_minus_2 = minimal_polynomial(sqrt(-2), x)
min_poly_alpha_5 = minimal_polynomial(alpha + 5, x)
min_poly_sqrt_cbrt_2_times_sqrt_minus_2 = minimal_polynomial(cbrt(2) * sqrt(-2) + 1, x)

# 重新计算每个元素的极小多项式的常数项的绝对值
norm_2 = abs(Poly(min_poly_2, x).all_coeffs()[-1])
norm_cbrt_2 = abs(Poly(min_poly_cbrt_2, x).all_coeffs()[-1])
norm_sqrt_minus_2 = abs(Poly(min_poly_sqrt_minus_2, x).all_coeffs()[-1])
norm_alpha = abs(Poly(min_poly_alpha, x).all_coeffs()[-1])
norm_alpha_5 = abs(Poly(min_poly_alpha_5, x).all_coeffs()[-1])
norm_sqrt_cbrt_2_times_sqrt_minus_2 = abs(Poly(min_poly_sqrt_cbrt_2_times_sqrt_minus_2, x).all_coeffs()[-1])

norm_2, norm_cbrt_2, norm_sqrt_minus_2, norm_alpha, norm_alpha_5, norm_sqrt_cbrt_2_times_sqrt_minus_2

我们成功计算了所需元素的范数，结果如下：

1. $N(2)$ 的范数为 $2$。
2. $N(\sqrt[3]{2})$ 的范数为 $2$。
3. $N(\sqrt{-2})$ 的范数为 $2$。
4. $N(\alpha )$ （其中 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$）的范数为 $12$。
5. $N(\alpha +5)$ 的范数为 $20067$。
6. $N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的范数为 $33$。

这些范数是每个元素在 $\mathbb{Q}$ 上的最小多项式的常数项的绝对值。通过使用 SymPy 的 minimal_polynomial 函数和 Poly 类，我们能够轻松地计算出这些值。

3. 数域 $K$ 的范数 $N_K$

【题目】设 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$, $K=\mathbb{Q}(\alpha )$，试求：
3. $N_K(2)$, $N_K(\sqrt[3]{2})$, $N_K\sqrt{-2}$, $N_K(\alpha +5)$, $N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ ；

已知第1问结果， $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$ 的极小多项式是：$f(x)=x^6+6x^4-4x^3+12x^2+24x+12$

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思路

对于数域 $K$ 中的每个元素 $a$，其范数 $N_K(a)$ 是 $a$ 的共轭元素的乘积，乘积次数等于 $\alpha$ 的最小多项式的次数。

共轭元素是最小多项式的根？

求解过程

1. $N_K(2)$
   $2$ 是一个有理数，其最小多项式是 $x-2$。因此，$N_K(2)$ 是这个多项式的根 $2$ 的乘积，即 $2^6=64$（因为 $\alpha$ 的最小多项式是六次的）。

2. $N_K(\sqrt[3]{2})$
   $\sqrt[3]{2}$ 的共轭在 $K$ 中有三个（因为它的最小多项式是三次的），包括 $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2}\omega$, 和 $\sqrt[3]{2}{\omega }^2$（其中 $\omega$ 是三次单位根）。在 $K$ 中，我们需要考虑六个共轭，所以 $N_K(\sqrt[3]{2})=(\sqrt[3]{2}{)}^3\times (\sqrt[3]{2}{)}^3=2^2=4$。

3. $N_K(\sqrt{-2})$
   $\sqrt{-2}$ 的共轭在 $K$ 中有两个（因为它的最小多项式是二次的），包括 $\sqrt{-2}$ 和 $-\sqrt{-2}$。在 $K$ 中，我们需要考虑六个共轭，所以 $N_K(\sqrt{-2})=(\sqrt{-2}{)}^2\times (\sqrt{-2}{)}^2\times (\sqrt{-2}{)}^2=(-2{)}^3=-8$。

4. $N_K(\alpha +5)$ 和 5. $N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$
   这些范数的计算比较复杂，因为需要找到 $\alpha +5$ 和 $\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1$ 在 $K$ 中的所有共轭，并计算它们的乘积。这通常需要专门的代数工具或软件。

总的来说，对于简单的数如 $2$、$\sqrt[3]{2}$ 和 $\sqrt{-2}$，我们可以相对容易地计算它们的范数，但对于更复杂的数如 $\alpha +5$ 和 $\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1$，计算过程就变得复杂许多。

Python求解

这个问题涉及到数域中的范数（Norm）的计算。
数域 $K$ 的范数 $N_K(a)$ 是指，元素 $a$ 在数域 $K$ 中所有共轭元素的乘积。
在这个问题中，数域 $K=\mathbb{Q}(\alpha )$，其中 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$，并且我们需要计算几个不同元素的范数。

分析

1. 计算范数的方法：给定数域 $K$ 和元素 $a$，范数 $N_K(a)$ 可以通过找到 $a$ 的所有共轭元素并将它们相乘来计算。这通常涉及解决多项式方程或使用代数理论。

2. Python中的求解：Python中没有直接计算数域范数的标准库函数，但我们可以使用 sympy 库来帮助我们找到共轭元素并计算它们的乘积。sympy 是一个用于符号计算的库，可以处理多项式方程和代数表达式。

解题步骤

1. 找到共轭元素：对于每个给定的元素（例如 $2$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt{-2}$, $\alpha +5$, $\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1$），我们需要找到其在数域 $K$ 中的所有共轭元素。

2. 计算范数：一旦找到了共轭元素，我们就可以计算它们的乘积，即范数 $N_K(a)$。

由于这些计算涉及复杂数学操作，我将使用 Python 的 sympy 库来进行计算。
现在，我将依次计算 $N_K(2)$, $N_K(\sqrt[3]{2})$, $N_K(\sqrt{-2})$, $N_K(\alpha +5)$ 和 $N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的值。

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杰哥提醒后修改
注意：sqrt(2)**(1/3)是 ${\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}$的值：$sqrt{2}^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{6}}$

因此$\sqrt[3]{2}$应该是2**(1/3)，
并且由于所有的元素都是 sympy 表达式，可以正确地使用 subs 方法，并且可以避免浮点数精度的问题，所以应该是2**Rational(1, 3)

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出现了一个错误：prod 函数未定义。
修正这个问题，并重新计算范数。
发生了另一个错误：整数对象没有 subs 方法，这是因为 subs 是 sympy 库中用于替换符号表达式的方法。
需要将整数转换为 sympy 表达式，然后再计算范数。

完善后，再次尝试计算范数。

from sympy import Rational,symbols, Poly, I, sqrt, prod
from sympy.abc import x

# 定义变量和多项式
alpha = symbols('alpha')
f = Poly(x**6 + 6*x**4 - 4*x**3 + 12*x**2 + 24*x + 12, x)

# 数域 K 的基元 alpha
alpha_value = 2**Rational(1, 3) + sqrt(-2)

# 计算 alpha 的共轭元素
conjugates_alpha = [root.evalf() for root in f.all_roots()]

# 定义计算范数的函数
def norm_K(element, conjugates):
    return prod([element.subs(alpha, conj) for conj in conjugates])

# 将整数转换为 sympy 表达式
element_2 = Rational(2)
element_sqrt2 = 2**Rational(1, 3)
element_sqrt_minus2 = sqrt(-2)
element_alpha_plus_5 = alpha_value + 5
element_sqrt2_sqrt_minus2_plus_1 = 2**Rational(1, 3) * sqrt(-2) + 1

# 重新计算范数
norm_2 = norm_K(element_2, conjugates_alpha)
norm_sqrt2 = norm_K(element_sqrt2, conjugates_alpha)
norm_sqrt_minus2 = norm_K(element_sqrt_minus2, conjugates_alpha)
norm_alpha_plus_5 = norm_K(element_alpha_plus_5, conjugates_alpha)
norm_sqrt2_sqrt_minus2_plus_1 = norm_K(element_sqrt2_sqrt_minus2_plus_1, conjugates_alpha)

norm_2, norm_sqrt2, norm_sqrt_minus2, norm_alpha_plus_5, norm_sqrt2_sqrt_minus2_plus_1

现在我们有了正确的范数计算结果：

1. $N_K(2)=64$
2. $N_K(\sqrt[3]{2})=4$
3. $N_K(\sqrt{-2})=-8$
4. $N_K(\alpha +5)$的结果是一个复数表达式：$(\sqrt[3]{2}+5+\sqrt{2}i{)}^6$
5. $N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$的结果也是一个复数表达式：$(1+1.12246204830937\sqrt{2}i{)}^6$

对于第4个和第5个表达式，它们的确切数值取决于 $\alpha$ 的特定值。这些复数表达式可以进一步简化以获得更精确的数值结果。

4. 迹 $T$

设 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$, $K=\mathbb{Q}(\alpha )$，试求：

4. $T(2)$, $T(\sqrt[3]{2})$, $T(\sqrt{-2})$, $T(\alpha )$, $T(\alpha +5)$, $T(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的迹；

已知第1问结果， $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$ 的极小多项式是：$f(x)=x^6+6x^4-4x^3+12x^2+24x+12$

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迹 $T(a)$ 是数域中元素 $a$ 的最小多项式的根的和。

我们需要类似于范数的方法来找到这些元素的最小多项式，然后计算这些多项式根的和。

求解过程

为了手动计算这些元素的迹，我们需要考虑 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$ 在数域 $K=\mathbb{Q}(\alpha )$ 中的共轭元素。
由于 $\alpha$ 的极小多项式是 $f(x)=x^6+6x^4-4x^3+12x^2+24x+12$，共轭元素将是这个多项式的根。
我们需要计算 $2$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt{-2}$, $\alpha$, $\alpha +5$, 和 $\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1$ 在这些根下的值的和。

共轭元素

首先，找出 $\alpha$ 的共轭元素。这涉及解决 $f(x)=0$ 的方程，但这个方程过于复杂，无法用简单的代数方法解决。
然而，由于 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的一个根，我们知道至少有六个共轭元素（包括 $\alpha$ 本身），它们可能是实数或复数。

计算迹

迹 $T(a)$ 是所有共轭元素的和。对于简单的元素如 $2$ 或 $\sqrt[3]{2}$，这些值在共轭元素下的表达式是明确的。
对于 $\alpha$ 和更复杂的表达式，这些值将取决于 $\alpha$ 的具体共轭元素。

1. $T(2)$
   由于 $2$ 是一个常数，它在每个共轭元素下的值都是 $2$。
   因此，$T(2)$ 是 $2$ 与共轭元素的数量（这里是 6）的乘积：
   $T(2)=2\times 6=12$

2. $T(\sqrt[3]{2})$
   同样，$\sqrt[3]{2}$ 是一个常数，所以 $T(\sqrt[3]{2})$ 是 $\sqrt[3]{2}$ 与共轭元素的数量的乘积：
   $T(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\times 6$

3. $T(\sqrt{-2})$
   由于 $\sqrt{-2}$ 是一个常数，其迹是：
   $T(\sqrt{-2})=\sqrt{-2}\times 6$

4. $T(\alpha )$、$T(\alpha +5)$、$T(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$
   迹 $T(\alpha )$ 是所有共轭元素的和。由于 $\alpha$ 是共轭元素之一，其余共轭元素在 $f(x)$ 中会有不同的表示。在没有具体共轭元素值的情况下，我们无法直接计算 $T(\alpha )$。
   类似地，$T(\alpha +5)$ 是 $\alpha +5$ 在所有共轭元素下的值的和。由于我们没有具体的共轭元素，无法直接计算。
   这是一个更复杂的表达式，其迹是在所有共轭元素下的值的和。同样，我们无法直接计算。

python求解

这个问题是关于计算数域 $K=\mathbb{Q}(\alpha )$ 中元素的迹（Trace）。对于数域 $K$ 中的元素 $a$，其迹 $T_K(a)$ 是所有 $a$ 的共轭元素的和。在本题中，我们需要计算几个不同元素的迹，包括 $2$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt{-2}$, $\alpha$, $\alpha +5$, 和 $\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1$。

分析

1. 计算迹的方法：给定数域 $K$ 和元素 $a$，迹 $T_K(a)$ 可以通过找到 $a$ 的所有共轭元素并将它们相加来计算。这通常涉及解决多项式方程或使用代数理论。

2. Python中的求解：与范数类似，Python中没有直接计算数域迹的标准库函数，但我们可以使用 sympy 库来帮助我们找到共轭元素并计算它们的和。

解题步骤

1. 找到共轭元素：对于每个给定的元素（例如 $2$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt{-2}$, $\alpha +5$, $\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1$），我们需要找到其在数域 $K$ 中的所有共轭元素。

2. 计算迹：一旦找到了共轭元素，我们就可以计算它们的和，即迹 $T_K(a)$。

使用 Python 的 sympy 库来进行计算 $T_K(2)$, $T_K(\sqrt[3]{2})$, $T_K(\sqrt{-2})$, $T_K(\alpha )$, $T_K(\alpha +5)$ 和 $T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的值。

from sympy import Rational,symbols, Poly, I, sqrt,prod
from sympy.abc import x

# 定义变量和多项式
alpha = symbols('alpha')
f = Poly(x**6 + 6*x**4 - 4*x**3 + 12*x**2 + 24*x + 12, x)

# 数域 K 的基元 alpha
alpha_value = 2**Rational(1, 3) + sqrt(-2)

# 计算 alpha 的共轭元素
conjugates_alpha = [root.evalf() for root in f.all_roots()]

# 将整数转换为 sympy 表达式
element_2 = Rational(2)
element_sqrt2 = 2**Rational(1, 3)
element_sqrt_minus2 = sqrt(-2)
element_alpha_plus_5 = alpha_value + 5
element_sqrt2_sqrt_minus2_plus_1 = 2**Rational(1, 3) * sqrt(-2) + 1

# 定义计算迹的函数
def trace_K(element, conjugates):
    return sum([element.subs(alpha, conj) for conj in conjugates])

# 计算迹
trace_2 = trace_K(element_2, conjugates_alpha)
trace_sqrt2 = trace_K(element_sqrt2, conjugates_alpha)
trace_sqrt_minus2 = trace_K(element_sqrt_minus2, conjugates_alpha)
trace_alpha = trace_K(alpha_value, conjugates_alpha)
trace_alpha_plus_5 = trace_K(element_alpha_plus_5, conjugates_alpha)
trace_sqrt2_sqrt_minus2_plus_1 = trace_K(element_sqrt2_sqrt_minus2_plus_1, conjugates_alpha)

trace_2, trace_sqrt2, trace_sqrt_minus2, trace_alpha, trace_alpha_plus_5, trace_sqrt2_sqrt_minus2_plus_1

现在我们有了正确的迹计算结果：

1. $T_K(2)=12$
2. $T_K(\sqrt[3]{2})=6\sqrt[3]{2}$
3. $T_K(\sqrt{-2})$的结果是一个纯虚数：$6\sqrt{2}i$
4. $T_K(\alpha )$的结果是一个复数：$6\sqrt[3]{2}+6\sqrt{2}i$
5. $T_K(\alpha +5)$ 的结果也是一个复数：$6\sqrt[3]{2}+30+6\sqrt{2}i$
6. $T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的结果也是一个复数：$6+6\cdot 2^{5/6}i$

这些结果为数域 $K=\mathbb{Q}(\alpha )$ 中指定元素的迹提供了精确的数值。对于复数结果，它们表示实部和虚部的和。

5. 数域 $K$ 的迹 $T_K$（同第4小问）

设 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$, $K=\mathbb{Q}(\alpha )$，试求：

5. $T_K(2)$, $T_K(\sqrt[3]{2})$, $T_K(\sqrt{-2})$, $T_K(\alpha +5)$, $T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的数域 $K$ 迹。

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同第4小问

prompt

你是代数学专家，这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。
给出清晰详细的计算过程，以及具体的答案。请你手动计算，不要借助代码
请用md语法编辑，$latex符号、公式$。例如，将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为$\sqrt[3]{2}\mathbb{Q}$

你是代数学专家，这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。
给出清晰详细的计算过程，以及具体的答案。可以用python 中库函数求解
请用md语法编辑，$latex符号、公式$。例如，将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为$\sqrt[3]{2}\mathbb{Q}$
【题目】

【题目】
已知第1问结果， $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$ 的极小多项式是：$f(x)=x^6+6x^4-4x^3+12x^2+24x+12$
你是代数学专家，这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。
请先分析这个题目是求解什么，应该怎么求解，分析用python 中的哪个库函数求解更合适，然后用最合适的库函数求解出具体的结果