权证定价经典模型之B-S期权定价模型
@汉默森Studio、上证报[原文]
@铁山青士[综编]
B-S模型
B-S模型系以两位经济学家的姓氏命名，B和S分别是——美国芝加哥大学教授Fischer Black和Myron Scholes的姓氏首字母，他们于1973年提出了Black-Scholes期权定价模型，简称B-S模型或B-S公式。
在二叉树的期权定价模型中，如果标的证券期末价格的可能性无限增多时，其价格的树状结构将无限延伸，从每个结点变化到下一个结点（上涨或下跌）的时间将不断缩短，如果价格随着时间周期的缩短，其调整的幅度也逐渐缩小的话，在极限的情况下，二叉树模型对欧式权证的定价就演变为关于权证定价理论的经典模型——B-S模型。
期权价格
期权价格是如何得来的？当然是通过交易得来。那么决定期权价格的影响因素有哪些呢？一般认为影响期权价格的因素主要有六种，分别是标的价格、行权价格、无风险利率、标的价格的波动率、距离到期日的时间和股息率。正是这六个因素的千变万化使得期权的价格在市场上时时刻刻发生变化。那么，这六个因素具体如何影响期权价格？是不是有一个关系式能够直接刻画期权价格与这六个影响因素的关系呢？
其实，自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们一直致力于对这一关系式的探讨。1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black和Myron Scholes发表《期权定价与公司负债》一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起了强烈的反响，Myron Scholes因此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。B-S模型利用复制资产和无套利假设的方法，得出了反映期权价格与标的价格、时间之间的微分方程，并求解出著名的B-S期权定价公式。
前世今生
1960年代后期，Fischer Black取得了Harvard数学博士学位，他遇到了一位年轻的MIT金融教授，Myron Scholes。两个年轻人越聊越投机，经常就金融市场的运作等问题交换意见。不久之后，Black加入MIT，开始与Scholes合作研究期权。当时金融界广泛接受的是资产定价理论，而一个非常难解的微分方程阻碍着Black和Scholes专攻定价方法的进展。终于，Black在物理学中获得了灵感，他通过将这个微分方程转化为一个描述热运动的方程，并查阅物理学典籍轻易求得了微分方程的解，从而获得了与第一种与其定价方法相匹配的期权定价模型。最终他们的成果Black-Scholes Model在权威期刊Journal of Political Economy上公之于世。
有趣的是，在同一时期，另外一名来自MIT的金融教授也在研究期权定价。这个叫Robert Merton的年轻人几乎与Black和Scholes同时推导出了相同的期权定价模型。但Merton为人非常谦虚，他要求他的论文不要早于Black和Scholes的论文刊发。最终，Merton的论文在另一本期刊Bell Journal of Economics and Management Science上发表，也正是因为这样，很多教科书都将这个期权定价模型命名为Black-Scholes-Merton Model或BSM。
成立条件
任何一个模型都是基于一定的市场假设的，Black-Scholes模型模型的基本假设有以下八点：
首先，我们假设股价的变化不是零散的布朗运动，而是服从对数的正态分布，服从对数正态分布的股票价格始终为正数，这与公司股票的有限负债特征一致。在对数正态分布下，不论股价是高是低，用百分比表示的价格变化有相同的分布。我们实际观察到的股价分布数据，也与对数正态分布模型相当一致。
其次，从期权合约订立到行权，我们假设市场的无风险利率和波动率是恒定不变的，很多人会认为此处的无风险利率等同于期权到期日相同的国库券利率。
第三个假设是，市场上不存在任何的套利机会。
第四个假设是，市场是无摩擦的，交易成本为零，也就是期权的卖方无需缴纳保证金，而交易的手续费、佣金、税费等也为零。
第五个假设是模型中的期权必须是欧式期权，也就是那些在到期日方可行权的期权，而美式期权定价不适用定价模型。
第六是投资者的借入利率和借出利率必须相同。
第七是市场允许卖空期权合约的标的证券。
最后一个假设是标的证券的交易单位是可以无限可分的，比如我们可以买卖100股、10股、1股、0.1股、0.01股等。
在满足以上八大假设的前提下，B-S模型才有其适用价值。
在我国，当标的证券分红除息时，权证的行权价格也做相应的除息调整，因此不需要标的证券不分红的假设。
计算方法
根据假设和数学推断，欧式认购期权价格的计算公式为：
C=SN(d1)-XeN(d2)
公式中的C表示认购权证理论价格，X表示行权价格，S表示正股价格，T表示权证的剩余期限，r表示无风险利率，N()表示正态分布变量的累积概率分布函数。
我们可以从两个角度理解该公式。
第一个角度是根据定价原理理解。该模型可以看作两部分，SN(d1)和XeN(d2)正好理解为一个投资组合的两个组成部分，即N(d1)份正股和XeN(d2)元的无息贷款的组合。也就是说，在权证未到期前的任何时刻，一份认购权证的价值与N(d1)份正股和XeN(d2)元的无息贷款的组合价值相同。
第二个角度是从权证的到期收益来理解。权证的价值由其到期日能够给持有者带来的收益决定。但是到期时正股价格不确定，因此权证的收益也难以确定。假设到期时正股价格为S，则到期时认购权证的价格为S-X。那么，在到期前的任一时刻t,要想知道认购权证的价格，我们就需要推算认购权证到期时正股价为S的概率，同时将行权价格按一定的贴现率折算为时刻t的现值。因此，认购权证的定价模型可以理解为在任一时刻t,认购权证到期时正股价格为S的概率为N(d1)，Xe为行权价格在时刻t的现值，N(d2)为概率。因此，在任一时刻t,认购权证给投资者带来的收益即为SN(d1)-XeN(d2)。
在得出了欧式认购权证的价格之后，很容易得出欧式认沽权证价格的计算公示，即C= XeN(-d2)－SN(-d1)，同样，我们也可以从两个不同的角度来直观理解认沽权证的B-S定价公式。
第一个角度是把认沽权证看作是XeN(-d2)元无息存款与卖出N(-d1)份正股的组合。也就是说，在任一时刻，一份认沽权证的价值与卖出N(-d1)份正股并同时存入XeN(-d2)元的无息存款的价值相同。
从另一个角度看，假设到期时正股价格为S元，则到期时认沽权证的价格为X-S元。认沽权证的B-S定价模型可以理解为在任一时刻t,认沽权证到期时正股价格为S的概率为N(-d1)，Xe为行权价格在时刻t的现值，因此，在任一时刻t,认沽权证能够给投资者带来的收益即为C= XeN(-d2)－SN(-d1)。
美中不足
虽然B-S模型简单易用，也有美中不足之处：首先，对于深度实值或虚值的期权，模型的定价会产生较大偏差，会高估深度虚值期权，低估深度实值期权；其次，B-S模型对临近到期日的期权估值存在较大误差；最后，B-S模型八大假设中的借入借出资金成本相等、不存在交易成本、不需缴纳保证金等先决条件，均与现实差距较大。虽然B-S模型从面世以来已经成为投资者比较期权市场价格和做市商制定基准价格的重要依据，但学界还是不断提出更多期权定价模型，其中最著名的是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉树模型。之后，在二叉树模型的基础上，Phelim Boyle又于1986年提出了三叉树模型。
运用问题
实务中最大的问题是：我们如何运用B-S模型？其实非常简单。当我们输入B-S模型中所要求的期权行权价格、标的证券价格、无风险利率、到期时间和波动率，就能得到期权的价格；而在我们输入期权行权价格、标的证券价格、无风险利率、到期时间和期权价格时，就能得到期权当下的隐含波动率。隐含波动率作为期权里非常重要的一个指标，是衡量期权价格高低的一个重要参考因素。譬如，某一期权合约的隐含波动率高于历史波动率达到一定程度，且明显超过其他行权价合约的隐含波动率，那么该期权合约的价格可能存在高估的现象。
随着期权市场发展越来越迅速、交易策略越来越复杂，美式期权、奇异期权等各种新产品的诞生，像传统欧式期权那样能用解析解定价的期权合约已经越来越少。伴随着计算机技术的进步，学界和业界都开始运用各类数值方法对期权进行定价，最常用的两种方法是蒙特卡罗方法和有限差分方法。蒙特卡罗方法主要适用于衍生品收益与标的资产的历史价格有关或者有多个标的资产的情形，其基于风险中性理论，用算术平均代替理论的期望值，用离散代替连续，起到简化近似的效果。有限差分方法则适用于期权持有者可以提前行权的美式期权或其他需要在到期日之前做出某种决定的衍生产品，通过数值求解微分方程（用差分方程替代微分方程）的方式达到定价的目的。
铁山青士编注：该文帖系名都华品微信公众平台订阅号文帖，综合编订自【B-S模型_汉默森Studio的新浪博客2018-09-06 00:02:28】与【期权定价方法之B-S模型_上海证券报·调查_中国证券网2018-09-20】二文帖。