算法(3)-分治法

分治法

定义

在计算机科学中，分治法是建基于多项分支递归的一种很重要的算法范式。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法（快速排序、归并排序）、傅立叶变换（快速傅立叶变换）。

分治算法是一个解决复杂问题的好工具，它可以把问题分解成若干个子问题，把子问题逐个解决，再组合到一起形成大问题的答案。比如，汉诺塔问题如果采用分治算法，可以把高度为n的塔的问题转换成高度为n-1的塔来解决，如此重复，直至问题化简到可以很容易的处理为止

步骤

分治法的实现一般分为三步：
分解：将原问题分解为若干个规模较小，相对独立，与原问题形式相同的子问题。
解决：若子问题规模较小且易于解决时，则直接解。否则，递归地解决各子问题。
合并：将各子问题的解合并为原问题的解

适用范围

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题（如果不满足此条件，虽然可以用分治法，但是不推荐）

应用

分治法有很多地方的应用，比较常见的有二分查找或者排序算法就是使用的分治法的思想

二分查找

二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。 但是，折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。所以对于链式存储结构，二分查找效率是较为低下的，不建议使用

二分查找的思想也较为简单，就是讲n个元素分为两个部分，然后与需要查找的元素进行比较，如果比要查找的元素小，则在大的元素集合中查找，如果比要查找的元素大，则在较小的元素集合中查找，具体代码如下

• 非递归

public static int binarySearch(int[] array,int fromIndex,int toIndex,int key){
        int low=fromIndex;
        int high=toIndex-1;
        while(low<=high){
            int mid=(low+high)/2;
            int midVal=array[mid];
            if(key>midVal){
                low=mid+1;
            }else if(key

• 递归

public static int binarySearch(int srcArray[], int start, int end, int key) {
        int mid = (end + start) / 2;
        if (srcArray[mid] == key) {
            return mid;
        }
        if (start < end) {
            if (key > srcArray[mid]) {
                return binarySearch(srcArray, mid + 1, end, key);
            } else if (key < srcArray[mid]) {
                return binarySearch(srcArray, start, mid - 1, key);
            }
        }
        return -1;
    }

排序

在排序算法中，使用分治法思想的排序有快速排序和归并排序

快速排序

设要排序的数组是A[0]……A[N-1]，首先任意选取一个数据（通常选用数组的第一个数）作为关键数据，然后将所有比它小的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一趟快速排序，然后不断重复这个过程直到排序完成

归并排序

归并排序是一个典型分治法思想的排序，它的思想是，如果两个序列是有序的，那么将它们合成，依然可以得到一个有序序列，而对于一个无需的序列，将它拆分为足够小的序列然后进行排序，最后将这些有序序列合并，那么就可以得到一个有序的序列

对于这两个排序的详细步骤和代码，这里只做简介，之后放在排序章节里统一描述