Python树与树算法、二叉树的实现

一、树与树算法

1、树的概念和特点

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点有零个或多个子节点；
• 没有父节点的节点称为根节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

2、树的术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度（如B的度是3）；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度（上图中B的度最大，即B为树的度）；
• 叶节点或终端节点：度为零的节点；
• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推（上图有5层）；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次（上图树的深度是5）；
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟（D和H）；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点（A、C、G、M都是O节点的祖先）；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙（L、M、O都是G的子孙）。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

 3、树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
    • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
    • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
    • 排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）；
  • 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
  • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

  4、树的存储

（1）顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。

（2）链式存储：常用

二、二叉树

 1、二叉树的概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）

 2、二叉树的性质（特性）

性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。

3、二叉树的实现

通过使用Node类中定义三个属性，分别为elem本身的值，还有lchild左孩子和rchild右孩子。

树的创建,创建一个树的类，并给一个root根节点，一开始为空，随后添加节点。

class Node(object):
    def __init__(self,item):
        self.elem = item  #定义了三个属性
        self.lchild = None
        self.rchild = None

class Tree(object):
    """二叉树"""
    def __init__(self):
        self.root = None
    def add(self,item):
        node = Node(item)
        if self.root is None:
            self.root = node
            return
        queue = [self.root]   #队列：用来遍历的添加处理的东西
        while queue:   #队列里有东西就会执行以下步骤
            cur_node = queue.pop(0)
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)

4、二叉树的遍历

深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

class Node(object):
    def __init__(self,item):
        self.elem = item  #定义了三个属性
        self.lchild = None
        self.rchild = None

class Tree(object):
    """二叉树"""
    def __init__(self):
        self.root = None
    def add(self,item):
        node = Node(item)
        if self.root is None:
            self.root = node
            return
        queue = [self.root]   #队列：用来遍历的添加处理的东西
        while queue:   #队列里有东西就会执行以下步骤
            cur_node = queue.pop(0)  #从队头读取
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)   #放到队列里
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)
    def breadth_travel(self):
        """广度遍历"""
        if self.root is None:
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem, end=' ')
            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)

    def preorder(self, node):
        """先序遍历，根左右"""
        if node is None:
            return
        print(node.elem, end=' ')
        self.preorder(node.lchild)
        self.preorder(node.rchild)

    def inorder(self, node):   #node为root根
        """中序遍历，左根右"""
        if node is None:
            return
        self.inorder(node.lchild)
        print(node.elem, end=' ')
        self.inorder(node.rchild)

    def postorder(self, node):
        """后序遍历，左右根"""
        if node is None:
            return
        self.postorder(node.lchild)
        self.postorder(node.rchild)
        print(node.elem, end = ' ')

if __name__ == '__main__':
    tree = Tree()
    tree.add(0)
    tree.add(1)
    tree.add(2)
    tree.add(3)
    tree.add(4)
    tree.add(5)
    tree.add(6)
    tree.add(7)
    tree.add(8)
    tree.add(9)
    tree.breadth_travel()
    print(' ')
    tree.preorder(tree.root)
    print(' ')
    tree.inorder(tree.root)
    print(' ')
    tree.postorder(tree.root)
    print(' ')

输出：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9  
0 1 3 7 8 4 9 2 5 6  
7 3 8 1 9 4 0 5 2 6  
7 8 3 9 4 1 5 6 2 0  

 4、二叉树由遍历确定一棵树

给中序和先序或中序和后序，就可以画出一棵树。因为在中序中左右是可以分开的，而且先序第一个是根，后序最后一个是根。