二分查找——经典题目合集

二分查找——经典题目合集_第1张图片

文章目录

    • 69. x 的平方根
      • 题目
      • 算法原理
      • 代码实现
    • 35. 搜索插入位置
      • 题目
      • 算法原理
      • 代码实现
    • 852. 山脉数组的峰顶索引
      • 题目
      • 算法原理
      • 代码实现
    • 162. 寻找峰值
      • 题目
      • 算法原理
      • 代码实现
    • 153. 寻找旋转排序数组中的最小值
      • 题目
      • 算法原理
      • 代码实现
    • LCR 173. 点名
      • 题目
      • 算法原理
      • 代码实现

704.二分查找、34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置(二分查找模板)

69. x 的平方根

题目

题目链接:69. x 的平方根 - 力扣(LeetCode)

给你一个非负整数 x ,计算并返回 x算术平方根

由于返回类型是整数,结果只保留 整数部分 ,小数部分将被 舍去 。

注意: 不允许使用任何内置指数函数和算符,例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5

示例 1:

输入:x = 4
输出:2

示例 2:

输入:x = 8
输出:2
解释:8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数,小数部分将被舍去。

提示:

  • 0 <= x <= 231 - 1

算法原理

本题采用二分查找,题目给的x,要求是有符合的平方根就返回该x的平方根,如果没有则返回小于它的整数平方根

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代码实现

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x<1) return 0;	//处理边界
        int left = 1;
        int right = x;
        while(left<right)
        {
            long long mid = left+(right-left+1)/2;	//long long防止溢出
            if(mid*mid <= x)    left = mid;
            else    right = mid-1;
        }
        return left;
    }
};

35. 搜索插入位置

题目

题目链接:35. 搜索插入位置 - 力扣(LeetCode)

给定一个排序数组和一个目标值,在数组中找到目标值,并返回其索引。如果目标值不存在于数组中,返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为O(log n)的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4 

提示:

  • 1 <= nums.length <= 104
  • -104 <= nums[i] <= 104
  • nums无重复元素升序 排列数组
  • -104 <= target <= 104

算法原理

本题要求是如果找到目标值,则返回下标;如果找不到,则返回要填入的位置

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代码实现

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right-left)/2;
            if(nums[mid] < target)  left = mid+1;
            else    right = mid;
        }
        if(nums[left]<target)   return left+1;
        return left;
    }
};

852. 山脉数组的峰顶索引

题目

题目链接:852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣(LeetCode)

符合下列属性的数组 arr 称为 山脉数组

  • arr.length >= 3
  • 存在i0 < i < arr.length - 1)使得:
    • arr[0] < arr[1] < ... arr[i-1] < arr[i]
    • arr[i] > arr[i+1] > ... > arr[arr.length - 1]

给你由整数组成的山脉数组 arr ,返回满足 arr[0] < arr[1] < ... arr[i - 1] < arr[i] > arr[i + 1] > ... > arr[arr.length - 1] 的下标 i

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log(n)) 的解决方案。

示例 1:

输入:arr = [0,1,0]
输出:1

示例 2:

输入:arr = [0,2,1,0]
输出:1

示例 3:

输入:arr = [0,10,5,2]
输出:1

提示:

  • 3 <= arr.length <= 105
  • 0 <= arr[i] <= 106
  • 题目数据保证 arr 是一个山脉数组

算法原理

题目说了,这些数据必是一个山峰数组,所以我们可以直接暴力的将其遍历,找出前一个数小于当前数的位置,但有个要求是时间复杂度为O(log(n))

由于这个数组必是山峰数组,那么它是具有二段性的,所以我们可以采用二分查找

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代码实现

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) 
    {
        int left = 1;   //初始位置和末尾位置必不可能是峰顶
        int right = arr.size()-1 -1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if(arr[mid] > arr[mid-1])	left = mid;
            else	right = mid-1;
        }
        return left;
    }
};

162. 寻找峰值

题目

题目链接:162. 寻找峰值 - 力扣(LeetCode)

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums,找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值,在这种情况下,返回 任何一个峰值 所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞

你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。

示例 1:

输入:nums = [1,2,3,1]
输出:2
解释:3 是峰值元素,你的函数应该返回其索引 2。

示例 2:

输入:nums = [1,2,1,3,5,6,4]
输出:1 或 5 
解释:你的函数可以返回索引 1,其峰值元素为 2;
     或者返回索引 5, 其峰值元素为 6。

提示:

  • 1 <= nums.length <= 1000
  • -231 <= nums[i] <= 231 - 1
  • 对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1]

算法原理

我们可以暴力解法,遍历这个数组,如果开始下降,则可以返回该位置的值;如果一直向上,则返回最后一个位置的即可。这里最坏的情况就是走到最后一个位置,时间复杂度为O(N)。

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在此基础上,我们可以优化这个暴力解法,我们抽象这个数组:

  • 选定某i位置,当前位置大于i+1,此时是一个下降区域,那么在i的左边区域,肯定会有一个上升区域(因为左右都是负无穷),而右边区域不一定有结果,因为右边也是负无穷,可能会一直下降到负无穷大

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  • 如果选的的i位置,小于i+1位置的元素,那么这个区域此时是一个上升区域,那么在i的右边区域,肯定会有一个下降区域
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通过这两种情况的抽象,虽然这个数组是一个完全无序的数组,但是它具有二段性,那么我们就可以采用二分查找的思想

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代码实现

class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums)
    {
        int left = 0;
        int right = nums.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right-left)/2;
            if(nums[mid] > nums[mid+1])
                right = mid;
            else
                left = mid+1;
        }
        return left;
    }
};

153. 寻找旋转排序数组中的最小值

题目

题目链接:153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣(LeetCode)

已知一个长度为 n 的数组,预先按照升序排列,经由 1n旋转 后,得到输入数组。例如,原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到:

  • 若旋转 4 次,则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
  • 若旋转 7 次,则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意,数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]]

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ,它原来是一个升序排列的数组,并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1:

输入:nums = [3,4,5,1,2]
输出:1
解释:原数组为 [1,2,3,4,5] ,旋转 3 次得到输入数组。

示例 2:

输入:nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出:0
解释:原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ,旋转 4 次得到输入数组。

示例 3:

输入:nums = [11,13,15,17]
输出:11
解释:原数组为 [11,13,15,17] ,旋转 4 次得到输入数组。

提示:

  • n == nums.length
  • 1 <= n <= 5000
  • -5000 <= nums[i] <= 5000
  • nums 中的所有整数 互不相同
  • nums 原来是一个升序排序的数组,并进行了 1n 次旋转

算法原理

这就只有一个数组,我们可以直接暴力求解,直接遍历整个数组,找出最小值,直接遍历的时间复杂度为O(N)

由于题目说这是一个预先有序的数组,旋转得到的,所以这个数组是有二段性的

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  • A~B区域:nums[i] > nums[n-1]
  • C~D区域:nums[i] <= nums[n-1]

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代码实现

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums)
    {
        int left = 0;
        int right = nums.size()-1;
        int t = nums[right];
        while(left<right)
        {
            int mid = left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]>t)
                left = mid+1;
            else
                right = mid;
        }
        return nums[left];
    }
};

LCR 173. 点名

题目

题目链接:LCR 173. 点名 - 力扣(LeetCode)

某班级 n 位同学的学号为 0 ~ n-1。点名结果记录于升序数组 records。假定仅有一位同学缺席,请返回他的学号。

示例 1:

输入: records = [0,1,2,3,5]
输出: 4

示例 2:

输入: records = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8]
输出: 7

提示:

1 <= records.length <= 10000

算法原理

这题还是比较简单,但是有很多种方法

  1. 哈希表
  2. 直接遍历
  3. 位运算
  4. 高斯求和

这四种解法,时间复杂度都是O(N)

该题目说,学号从0开始,那么在断开之前,整个数组对应的下标和元素是相等的,从断开位置开始,元素都是比下标大1的,这又出现了二段性,那么就可以采用二分查找

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有可能整个数组完全不缺,例如0,1,2,3那么我们缺少的就是4,所以最后还需要处理边界情况

代码实现

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) {
        int left = 0;
        int right = records.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(records[mid] == mid)
                left = mid+1;
            else
                right = mid;
        }
        return records[left]==left?left+1:left;
    }
};

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