算法通关村 —— 移位运算解析

目录

算法通关村 —— 移位运算解析

1. 计算机中的数字

2 移位运算

3 移位运算与乘除法的关系

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算法通关村 —— 移位运算解析

1. 计算机中的数字

在进行移位运算的学习前，我们先了解下数字在计算机中的表示。

机器数：数字在计算机中以二进制的形式表示，叫做这个数的机器数。机器数带符号，计算机中最高位的数存放符号，正数为0，负数为1。比如，十进制的+5，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000101。如果是-3，就是10000101。

真值： 由于机器数第一位是符号，为了区分机器数与真正的数值，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例：00000010真值为2，10000010真值为-1。

原码: 就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。例：

[ +1 ] 原 = 00000001   [ -1 ] 原 = 10000001

第一位为符号位，所以8位2进制数取值范围为[ 11111111, 01111111], 即 [-127, 127]。

反码：正数的反码是其本身，负数的反码是在原码基础上，符号位不变，其余位取反。

例：[ +1 ] = [ 00000001 ] 原 = [ 00000001 ] 反             [ -1 ] = [ 10000001 ] 原 = [ 11111110 ] 反

补码：正数的补码是其本身，负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。

例：  [ +1 ] = [ 00000001 ] 原 = [ 00000001 ] 反  =  [ 00000001 ] 补        

         [ -1 ] = [ 10000001 ] 原 = [ 11111110 ] 反 = [ 11111111 ] 补        

2 移位运算

移位运算其实就是类似将原始数字除以2或者乘以2的运算，具体计算形式可能有所不同。

按照 移位方向 可以分成 左移 和 右移

按照 是否带符号 可以分成 算术移位 和 逻辑移位

算术移位：用高位补最高位

逻辑移位:  高位补0

左移运算：符号是 <<, 将全部二进制位向左移动若干位，高位丢弃，低位补0。对于左移运算，算术移位和逻辑移位相同。

右移运算：符号是 >>, 将全部二进制位向右移动若干位，低位丢弃，高位的补位由算术移位或逻辑移位决定： 算术移位时，高位补最高位；逻辑移位时，高位补0.

示例：
1）29的二进制表示为00011101，29左移2位后二进制表示为01110100，结果为116

2）50的二进制表示为00110010，50右移2位后二进制表示位00001100，结果为12，由于正数或0的第一位都位0，所以对于0和正数，无论是算术右移还是逻辑右移，其高位都是补0，所以两者右移的结果是相同的

3）-50的二进制表示为10110010，补码为11001110，-50算术右移两位后二进制表示为 11110011，对应的二进制原码为10001101，即为-13；-50逻辑右移2位二进制表示为00110011，正数的补码是其本身，故原码同为00110011，即为51

所以右移运算中算术移位和逻辑移位是不同的，计算机内部的右移运算采取哪一种呢？

⚪ 对于C/C++, 数据类型包含有符号类型和无符号类型，分别用关键字signed和unsigned声明。不使用关键字时默认为有符号类型。对于有符号类型，右移运算为算术右移，对于无符号运算，右移运算为逻辑右移。

⚪ 对于Java，不存在无符号类型，所有的表示整数的类型都是有符号类型，因此需要区分算术右移和逻辑右移。在Java中，算术右移符号是 >>， 逻辑右移符号是 >>>。

3 移位运算与乘除法的关系

由上可知，移位运算就是令指定数乘或除以2的若干次幂，所以通过移位运算可以实现乘除操作。由于计算机底层的一切运算都是基于位运算实现的，因此使用移位运算实现乘除法的效率高于直接乘除法。

左移运算对应乘法运算。将一个数左移k位，等价于将该数乘以2^k。例如，29左移两位结果为116，等价于29 × 4。而当乘数不是2的整数次幂时，则可以将乘数拆成若干项2的整数次幂之和，例如: a × 6 等价于a × (4 + 2), 即（a<<2)+(a<<1)。所以对任意整数，乘法运算都可以用左移运算实现，但需注意溢出的情况，例如在8位二进制表示下，29左移3位就会出现溢出。

算术右移运算对应除法运算。将一个数右移k位，相当于将这个数除以2^k。例如，50右移2位结果为12，等价于50 / 4，结果向下取整。

注意：对于0和整数，可以说将一个数算术右移k位和将这个数除以2^k等价，因为整数除法是向0取整，右移运算是向下取整，也是向0取整。但是对于负数，就不成立了，整数除法是向0取整，而右移运算是向下取整，但注意此时为负数向下取整，所以两者就不同了。例如（-50）>> 2 结果是-13， 而（-50）/ 4 结果是-12，两者不相等。但是不用担心，算法出题早就考虑了这一点，所以大部分算法题都将测试数据限制在正数和0的情况，因此可以放心地左移或者右移。