时间序列学习（2）：白噪声、随机游走

1、白噪声

白噪声是非常简单的一种建模时间序列的模型。

对于时间序列$\{w_t\}$，若满足下面三个条件，该序列为一个离散的白噪声（white noise）：

• 每个时间点均值为0；
• 每个时间点方差为${\sigma }^2$；
• 对于任意$k\ge 1$，自相关系数${\rho }_k=0$。

前两个条件并没有规定$w_t$一定是正态分布。如果是正态分布，那么这个时间序列又叫高斯白噪声（Gaussian white noise）。

回顾上一篇笔记中的平稳性要求，显然一个白噪声序列是符合弱平稳性的（其均值和自相关系数均为固定值，比弱平稳性更加严格一些）。

2、对数收益率序列

上一篇笔记中的日收益率序列，不严格地说，其实是一个差分序列。也就是每一个时间点的价格减去前一个时间点的价格（当然，还除以了前一时间点的价格）。

现在我们利用对数收益率处理成纯的差分序列，即每一个时间点价格的对数减去前一个时间点价格的对数。

对于价格的时间序列$\{p_t\}$，其对数收益率序列用下面的公式得到：

$${\alpha }_t=\ln p_t-\ln p_{t-1}$$

如果价格序列$\{p_t\}$体现出足够的自相关性（今天的价格和昨天强相关），那么对数收益率序列应该没有显著的自相关性了（自己减掉自己了）。也就是说对数收益率序列应该近似为一个白噪声。

我们将上一篇笔记的日收益率序列处理成对数收益率序列（即沪深300自2018年1月1日至2019年12月13日的对数收益率序列），如下：

import pandas as pd
import math


prices = get_price('000300.XSHG', start_date='2018-01-01', end_date='2019-12-13', frequency='daily', fields='close')

returns = {'return':{}}
for i in range(len(prices)):
    current_price = prices.iloc[i,0]
    if i == 0:
        current_return = 0
    else:
        last_price = prices.iloc[i-1,0]
        current_return = math.log(current_price)-math.log(last_price)
    date = list(prices.index)[i]
    returns['return'][date] = current_return
return_df = pd.DataFrame(returns, columns=['return'], index=list(prices.index))

fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_axes([0.2, 0.2, 1.2, 1.2])
ax.plot(return_df, color="blue", linewidth=1.5, linestyle="-", label=r'hs300-daily-log-returns')
plt.legend(loc='upper right', frameon=False)

return_df.mean()
return_df.std()

它的均值和标准差分别是：-0.000062，0.01315。

然后看看其时间间隔在50以下的相关图（相关图是啥，见上一篇笔记）。

import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf

fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_axes([0.2, 0.2, 1.2, 1.2])
plot_acf(return_df, ax, lags=50)
plt.show()

可以看到，上述收益率序列的均值-0.000062，非常接近于0；样本方差不能代表时间序列的方差，所以方差这一项依据我们暂时放在一边。看看自相关性，对于间隔为3的自相关系数超过了95%的置信区间，但其它都在区间内。

不管怎样，我们说上述对数收益率序列近似为一个白噪声。

3、随机游走

随机游走 random walk是对白噪声的简单延伸。

对于时间序列$\{x_t\}$，如果满足如下条件，该时间序列是一个随机游走：

$$x_t=w_t+w_{t-1}+...+w_0$$

其中，$w_t$是一个均值为0，方差为${\sigma }^2$的白噪声。

所以随机游走是白噪声的一个累积。比如，非严格地说，如果把股价看成随机游走，它其实就是每日收益率（如果看成白噪声）的不断累积。

根据均值和方差的可加性可以求得随机游走的的均值和方差：

$${\mu }_{x_t}=0;Var(x_t)=t{\sigma }^2$$

进一步，随机游走的自协方差也可以计算出来：

$$Cov(x_t,x_{t+k})=Cov(x_t,x_t+w_{t+1}+...+w_k)$$
$$=Cov(x_t,x_t)+\sum _{i=t+1}^{k}Cov(x_t,w_i)$$
$$=Cov(x_t,x_t)+0=t{\sigma }^2$$

有了自协方差，自相关系数也可以算出来：

$${\rho }_k(t)=\frac{Cov(x_t,x_{t+k})}{\sqrt{Var(x_t)}\sqrt{Var(x_{t+k})}}$$
$$=\frac{t{\sigma }^2}{\sqrt{t{\sigma }^2}\sqrt{(t+k){\sigma }^2}}$$
$$=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{t}}}$$

显然，上面的自相关系数和时间间隔有关，所以不具有平稳性。

另外，当k很小时，自相关系数接近于1。如果把股价走势看成随机游走，那么它的当日价格和昨日价格的相关性理论上非常高。

很多人把上述结论看成是一个重要的工具，于是以今日价格作为次日价格的预测值（因为相关性很高嘛）。看似很有道理，但是策略的期望收益大概率为0。

这里要注意的是，当k很小时，自相关系数接近于1，但不是1！

4、随机游走示例

下面我们用随机游走来生成一些序列看看。就用第二节中的均值（-0.000062）和标准差（0.01315）构建一个高斯白噪声。

设定初始值为3000（昨天，上证第44次突破3000点），然后，我们生成8条随机游走曲线如下：

import numpy as np
import pandas as pd
import math

mu = 0  
sigma = 0.01315  
num = 500
offsets = [i for i in range(500)]
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_axes([0.2, 0.2, 1.2, 1.2])
colors = ['grey', 'brown', 'red', 'sienna', 'olive', 'green', 'blue', 'purple']

for i in range(0, 8):
    rand_returns = np.random.normal(mu, sigma, num)
    prices = []
    for j in range(500):
        if j == 0:
            current_price = 3000
        else:
            last_price = prices[j-1]
            current_return = rand_returns[j]
            current_price = math.pow(math.e, math.log(last_price)+current_return)
        prices.append(current_price)
    ax.plot(offsets, prices, color=colors[i], linewidth=1.5, linestyle="-", label=r'random walk %d' % i)

plt.legend(loc='upper left', frameon=False)

可以看到，这些数值走势毫无相关性和规律性，在时间推进过程中，波动由于单点白噪声的累积在远端越来越大，但是没有明显的方向性。