伪逆矩阵（pseudo-inverse）

伪逆矩阵的介绍&定义

矩阵的逆&伪逆

上图中的右逆矩阵根据维度可知，有所问题，可参考下图矩阵的伪逆推导及其结果。

矩阵的伪逆推导

定义：令A是任意mXn矩阵，称矩阵G是A的广义逆矩阵，若G满足下述条件（Moore-penrose条件）：
（1）GAG = G；
（2）AGA = A；
（3）AG为hermitian矩阵，即（AG）^H=AG；
（4）GA为hermitian矩阵，即（GA）^H=GA；

伪逆矩阵的求法

直接求解：

求导，令导数为0，结果如下: $InvA=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$

%直接求伪逆
InvA = inv(A’*A)*A’;

SVD求解

• SVD分解求伪逆
  • 原理和公式：
    • SVD分解得到的矩阵:U和V是正交阵，S是对角阵
    • 正交阵的逆=转置
    • 对角阵的逆=非零元素求倒
  • Step1: 求解A的SVD分解
    • [U,S,V] = svd(A); % A = USV’
  • Step2: 将S中的非零元素求倒
    • T=S;
    • T(find(S~=0)) = 1./S(find(S~=0));
  • Step3: 求invA
    • svdInvA = V * T’ * U’;

QR求解

• QR分解求伪逆,适用于稀疏矩阵
  • 原理：
    • QR分解得到的矩阵:Q是正交阵，R是非奇异上三角阵
    • 正交阵的逆=转置
    • 上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。
    • 不必用高斯消去法，向前替换法解方程。
    • 但是具体的我不知道怎么用程序来写，这里仍旧用了matlab的函数。
  • 公式：
    • [Q,R] = qr(A);
    • InvR = inv(R’*R)*R’;
    • qrInvA =InvR*Q’;

伪逆矩阵的应用

(1)信号的检测干扰消除

a=floor(10*rand(4,3))
a =
7 4 2
7 6 6
1 7 6
4 7 1

---

b=inv(a’*a)*a’
b =
0.1018 0.0650 -0.0959 -0.0180
-0.0263 -0.0767 0.0578 0.1658
-0.0296 0.1149 0.0903 -0.1719

---

b*a
ans =
1.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 1.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 1.0000

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伪逆矩阵在维基百科中的详细介绍

参考链接

伪逆矩阵
伪逆矩阵（广义逆矩阵）