acwing算法基础之数学知识--求组合数基础版

1 基础知识

（一）
组合数$C_n^k$的计算公式，
$$C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$
故可以这样计算，

int compute_combination_n_k(int n, int k) {
    if (k > n) {
        return -1;//输入参数不合法
    }
    long long a = 1, b = 1, c = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        a = a * i; //计算a时，可能会超出long long范围
    }
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        b = b * i;
    }
    for (int i = 1; i <= n - k; ++i) {
        c = c * i;
    }
    long long res = a / b / c;
    return res;
}

该计算方法的缺点是，在计算$n!$时，可能会超出long long范围。

（二）
第（一）中的公式进行简化，有，
$$C_n^k=\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}$$
注意需要满足$k\le n$。
将上述公式转换为代码，如下所示，

int compute_combination_n_k(int n, int k) {
	if (k > n) {
		return -1; //-1表示无效值。
	}
	
	long long a = 1;//表示分子
	long long b = 1;//表示分母
	for (int i = 1; i <= k; ++i) {
		a = a * (n - i + 1); //注意这一步可能会超出long long最大值
		b = b * i;
	}
	long long res = a / b;
	return res;
}

上述代码在计算分子时比较容易超出long long，一般不采取这种计算方法，除非n比较小。

（三）
组合数的递推公式，
$$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$$
注意需要满足$k\le n$。

利用该公式可以在$O(n)$时间复杂度下求出N以内的所有组合数，代码如下，

const int N = 2010;
int c[N][N];

for (int i = 0; i < N; ++i) {
	for (int j = 0; j <= i; ++j) {
		if (!j) {
			c[i][j] = 1;
		} else {
			c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
		}
	}
}

使用上述计算方法，一般不会超出long long范围。

2 模板

暂无。。。

3 工程化

暂无。。。