平衡二叉树 （简单易懂）

目录

一、概念

二、性质

三、插入操作

四、旋转操作

五、删除操作

六、代码实现

七、复杂度

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一、概念

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是一种特殊的二叉搜索树（Binary Search Tree，BST），它在插入和删除节点时通过自平衡的方式来维持树的平衡性。平衡性的维护可以确保树的高度保持在较小的范围内，从而保证了树的基本操作（例如搜索、插入和删除）的平均时间复杂度为 O(log n)。

平衡二叉树的主要特点是任意节点的左子树和右子树的高度差（平衡因子）不超过1。换句话说，对于树中的每个节点，它的左子树和右子树的高度差的绝对值最多为1。

平衡二叉树的平衡性质可以通过旋转操作来维护。旋转操作包括左旋（Left Rotation）、右旋（Right Rotation）、左右旋（Left-Right Rotation）和右左旋（Right-Left Rotation）。这些操作可以使不平衡的树重新平衡，从而确保树的平衡性。

平衡二叉树的优点在于它提供了较快的搜索、插入和删除操作的平均性能，相比于非平衡的二叉搜索树

二、性质

1. 二叉搜索树性质： 对于树中的每个节点，其左子树上的所有节点值都小于它，右子树上的所有节点值都大于它。

2. 平衡性质： 对于树中的每个节点，它的左子树和右子树的高度差（平衡因子）最多为1。换句话说，任何节点的左右子树高度之差不超过1。

平衡二叉树的平衡性质确保了树的高度始终保持在较小的范围内，从而保持了较快的搜索、插入和删除操作。

三、插入操作

插入一个节点时，首先按照二叉搜索树的规则找到插入位置。然后，从插入位置向上回溯，更新每个祖先节点的高度，并检查平衡性质是否被破坏。如果发现某个节点的平衡因子超过1或小于-1，需要通过旋转操作来修复平衡性。 

四、旋转操作

平衡二叉树的旋转操作有四种：左旋、右旋、左右旋、右左旋。这些旋转操作可以将不平衡的树重新平衡。下面简要介绍左旋和右旋：

1. 左旋（LL旋转）： 当一个节点的右子树比左子树高度高，且右子树的左子树高度不低于右子树的右子树时，进行左旋。左旋是通过将当前节点的右子树提升为新的根，并将原根作为新根的左子树来实现的。

2. 右旋（RR旋转）： 当一个节点的左子树比右子树高度高，且左子树的右子树高度不低于左子树的左子树时，进行右旋。右旋是通过将当前节点的左子树提升为新的根，并将原根作为新根的右子树来实现的。

五、删除操作

删除节点时，首先按照二叉搜索树的规则找到要删除的节点。删除节点后，从删除位置向上回溯，更新每个祖先节点的高度，并检查平衡性质是否被破坏。如果发现某个节点的平衡因子超过1或小于-1，同样需要通过旋转操作来修复平衡性。

六、代码实现

class TreeNode {
    int val;
    int height; // 节点的高度
    TreeNode left;
    TreeNode right;

    public TreeNode(int val) {
        this.val = val;
        this.height = 1;
        this.left = null;
        this.right = null;
    }
}

public class AVLTree {
    private TreeNode root;

    public AVLTree() {
        this.root = null;
    }

    // 获取节点高度
    private int height(TreeNode node) {
        return (node == null) ? 0 : node.height;
    }

    // 更新节点高度
    private void updateHeight(TreeNode node) {
        if (node != null) {
            node.height = 1 + Math.max(height(node.left), height(node.right));
        }
    }

    // 获取平衡因子
    private int getBalanceFactor(TreeNode node) {
        return (node == null) ? 0 : height(node.left) - height(node.right);
    }

    // 左旋
    private TreeNode leftRotate(TreeNode y) {
        TreeNode x = y.right;
        TreeNode T2 = x.left;

        // 执行旋转
        x.left = y;
        y.right = T2;

        // 更新高度
        updateHeight(y);
        updateHeight(x);

        return x;
    }

    // 右旋
    private TreeNode rightRotate(TreeNode x) {
        TreeNode y = x.left;
        TreeNode T2 = y.right;

        // 执行旋转
        y.right = x;
        x.left = T2;

        // 更新高度
        updateHeight(x);
        updateHeight(y);

        return y;
    }

    // 插入节点
    public TreeNode insert(TreeNode root, int val) {
        if (root == null) {
            return new TreeNode(val);
        }

        // 执行标准的BST插入
        if (val < root.val) {
            root.left = insert(root.left, val);
        } else if (val > root.val) {
            root.right = insert(root.right, val);
        } else {
            // 不允许插入相同的值
            return root;
        }

        // 更新节点高度
        updateHeight(root);

        // 获取平衡因子
        int balance = getBalanceFactor(root);

        // 平衡维护
        // 左子树高度大于右子树，且插入发生在左子树的左侧，需要进行右旋
        if (balance > 1 && val < root.left.val) {
            return rightRotate(root);
        }

        // 右子树高度大于左子树，且插入发生在右子树的右侧，需要进行左旋
        if (balance < -1 && val > root.right.val) {
            return leftRotate(root);
        }

        // 左子树高度大于右子树，且插入发生在左子树的右侧，需要先左旋再右旋
        if (balance > 1 && val > root.left.val) {
            root.left = leftRotate(root.left);
            return rightRotate(root);
        }

        // 右子树高度大于左子树，且插入发生在右子树的左侧，需要先右旋再左旋
        if (balance < -1 && val < root.right.val) {
            root.right = rightRotate(root.right);
            return leftRotate(root);
        }

        return root;
    }

    // 对外提供的插入接口
    public void insert(int val) {
        root = insert(root, val);
    }

    // 中序遍历
    private void inOrderTraversal(TreeNode root) {
        if (root != null) {
            inOrderTraversal(root.left);
            System.out.print(root.val + " ");
            inOrderTraversal(root.right);
        }
    }

    // 对外提供的中序遍历接口
    public void inOrderTraversal() {
        inOrderTraversal(root);
    }

    public static void main(String[] args) {
        AVLTree avlTree = new AVLTree();

        // 插入一些节点进行测试
        avlTree.insert(10);
        avlTree.insert(20);
        avlTree.insert(30);
        avlTree.insert(15);
        avlTree.insert(5);

        // 中序遍历，检查树的平衡性
        avlTree.inOrderTraversal();
    }
}

七、复杂度

平衡二叉树的高度始终保持在O(log n)范围内，因此搜索、插入和删除操作的平均时间复杂度为O(log n)。

总之，平衡二叉树通过维护平衡性质，提高了搜索、插入和删除操作的效率，确保树的高度保持在较小范围内。