【汉诺塔 —— （经典分治递归）】

一.汉诺塔介绍

汉诺塔问题源自印度一个古老的传说，印度教的“创造之神”梵天创造世界时做了 3 根金刚石柱，其中的一根柱子上按照从小到大的顺序摞着 64 个黄金圆盘。梵天命令一个叫婆罗门的门徒将所有的圆盘移动到另一个柱子上，移动过程中必须遵守以下规则：
每次只能移动柱子最顶端的一个圆盘；
每个柱子上，小圆盘永远要位于大圆盘之上；

图 1 给您展示了包含 3 个圆盘的汉诺塔问题：

图 1 汉诺塔问题

一根柱子上摞着 3 个不同大小的圆盘，那么在不违反规则的前提下，如何将它们移动到另一个柱子上呢？图 2 给大家提供了一种实现方案：

图 2 汉诺塔问题的解决方案

汉诺塔问题中，3 个圆盘至少需要移动 7 次，移动 n 的圆盘至少需要操作 2n-1 次。

在汉诺塔问题中，当圆盘个数不大于 3 时，多数人都可以轻松想到移动方案，随着圆盘数量的增多，汉诺塔问题会越来越难。也就是说，圆盘的个数直接决定了汉诺塔问题的难度，解决这样的问题可以尝试用分治算法，将移动多个圆盘的问题分解成多个移动少量圆盘的小问题，这些小问题很容易解决，从而可以找到整个问题的解决方案。

二.分治算法解决汉诺塔问题

为了方便讲解，我们将 3 个柱子分别命名为起始柱、目标柱和辅助柱。实际上，解决汉诺塔问题是有规律可循的：

1) 当起始柱上只有 1 个圆盘时，我们可以很轻易地将它移动到目标柱上；
2) 当起始柱上有 2 个圆盘时，移动过程如下图所示：

图 3 移动两个圆盘

移动过程是：先将起始柱上的 1 个圆盘移动到辅助柱上，然后将起始柱上遗留的圆盘移动到目标柱上，最后将辅助柱上的圆盘移动到目标柱上。

3) 当起始柱上有 3 个圆盘时，移动过程如图 2 所示，仔细观察会发现，移动过程和 2 个圆盘的情况类似：先将起始柱上的 2 个圆盘移动到辅助柱上，然后将起始柱上遗留的圆盘移动到目标柱上，最后将辅助柱上的圆盘移动到目标柱上。

通过分析以上 3 种情况的移动思路，可以总结出一个规律：对于 n 个圆盘的汉诺塔问题，移动圆盘的过程是：
1.将起始柱上的 n-1 个圆盘移动到辅助柱上；
2.将起始柱上遗留的 1 个圆盘移动到目标柱上；
3.将辅助柱上的所有圆盘移动到目标柱上。

由此，n 个圆盘的汉诺塔问题就简化成了 n-1 个圆盘的汉诺塔问题。按照同样的思路，n-1 个圆盘的汉诺塔问题还可以继续简化，直至简化为移动 3 个甚至更少圆盘的汉诺塔问题。

三.汉诺塔问题的代码实现

//将n个圆盘借助by从from移到to
void hanoi(int n, char from, char to, char by)
{
    void move(int n, char x, char y);
    if (n == 1)
        move(n, from, to);
    else
    {
        hanoi(n - 1, from, by, to);
        move(n, from, to);
        hanoi(n - 1, by, to, from);
    }
}

void move(int n, char x, char y)
{
    printf("第%d个圆盘从%c->%c\n", n, x, y);
}

int main() {
    int n = 0;
    printf("请输入A柱上圆盘个数：");
    scanf("%d", &n);
    //将n个圆盘借助C从A移到B
    printf("移动方法展示：\n");
    hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
    return 0;
}

四.主函数测试展示