“八月蝴蝶黄，双飞西园草”——蝴蝶定理旧事重提

        平面几何中著名的蝴蝶命题，最早出现在1815年英国的一本杂志《男士日记》上，是作为一个征解的问题。文章登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳给出了第一个证明，而且完全是初等的，十分简洁明了。

        “蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，因为题目的图形像一只蝴蝶。这个名称不仅形似，而且神似。自诞生以来，该问题的证明方法至少已有数十上百种，对该问题的探讨也一直没有停止过，得出了不少漂亮而有启发性的副产品。这只翩翩起舞的蝴蝶飞过了从初等到高等的许多数学领域，翅膀上沾满了多彩而馥郁的花朵的香气。

        蝴蝶定理表述如下：如下图所示，M是圆O上的弦AB的中点，连结DE、CF分别交AB于P、Q。求证PM=QM。

 

   

        在此讨论一下单墫先生的一个证明。该证明自诞生以来一直被视为平面几何包括解析几何中的一个经典证明。仅有几行的证明言简意赅，信息量却很大，乍一拿到手仍觉得有些抽象，有必要对其思路梳理一下，也算加上注疏。中国古代的经史之学自初创起几乎就是一门注疏之学，后来随着世俗化的逐渐加深，文翰辞章等也出现了越来越多的赏析之作，以作为创作者和受众之间的媒介。这样一个经典证明是值得赏析回味的。

        首先以AB所在的直线为x轴，OM所在的直线为y轴建立直角坐标系，M为原点。为方便起见，不妨设该圆为单位圆。圆心O的坐标（0，—a）。

        试想如果能知道ED、CF所在直线的方程，求得P、Q的横坐标，问题就迎刃而解。E、D，C、F是相交于M的两条直线EF、CD所组成的图形——不妨记作（EF*CD）——和圆O的交点。我们就首先来写出（EF*CD）的方程。

        设EF所在直线的方程为y=k1x，CD所在直线的方程是y=k2x。如果对布尔代数——一个具体的例子就是逻辑电路——中的加法比较敏感的话，很快可以得到图形（EF*CD）对应的方程是（y—k1x）*（y—k2x）=0。因为对于该图形上的任一个点，代入这个表达式都能成立。

        下面考虑图形（EF*CD）和圆的交点。如果我们回顾通过交点的二次曲线系方程，不难得出通过（EF*CD ）和圆的交点的二次曲线系方程为[x^2+（y+a）^2—1] +  λ（y—k1x）*（y—k2x）=0。直观来看，该图形上必然存在点能让两部分同时为0，于是让整体也为0，即该图形通过（EF*CD）和圆的交点。可类比布尔代数——逻辑电路中的乘法。

        以上是一些必要的注解，明白了这些，证明过程就十分简洁漂亮了：

        由 [x^2+（y+a）^2—1] +  λ（y—k1x）*（y—k2x）=0，

      令y=0，得（1+ λk1k2）x^2+a^2—1=0。

可见x的一次项系数为0。由韦达定理xP+xQ=0，即PM=QM，得证。

        需要说明的是，过E、D、C、F共6条3组直线，要证明的结论是其中的一组。CD与EF交于原点，自然符合相等。如该图所示CE的延长线与DF的延长线与AB交点截成的线段也是相等的。

        单墫先生的经典证明简洁优美而意蕴丰厚，充满了一种高屋建瓴的整体眼光。技巧的使用上堪称四两拨千斤，数学思想与之水乳交融，如羚羊挂角，无迹可寻。反复玩味，似一首短短数行却让人品之不尽的小诗，如歌德《浪游者的夜歌》。

        下面再作一些引申。蝴蝶定理不仅适用于圆，对于其他二次曲线如椭圆、双曲线、抛物线甚至退化的两相交直线同样成立。用上述证明方法推广起来也很方便。

        只需要设二次曲线的一般式x^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0。建立如上坐标系，把A(—m，0)、B(m，0)代入，得到f=—m^2，d=0。即x^2+bxy+cy^2+ey—m^2=0。构造x^2+bxy+cy^2+ey—m^2+  λ（y—k1x）*（y—k2x）=0，证法完全相同。

        我们是否能用一种更高的数学眼光看待以上的推广呢？这就需要进入射影几何的领域。让我们先用射影几何的方法证明一下圆中的蝴蝶定理。

       

        如上图所示，由四条共点直线的交比和共线的四个有序点的交比之间的关系有：（abcd）=（APMB），（a'b'c'd'）=(AMQB)。由于在圆中一圆弧所对的每个圆周角相等，两组四条直线是“相合的”，显然具有相同的交比。于是（APMB）=(AMQB)。

        由交比的定义，（MA/MP）•(BP/BA)=（QA/QM）•(BM/BA)。由MA=MB，约分后得到BP/MP=QA/QM。两边同时减去1，BM/MP=MA/QM。再由MA=MB，可证得PM=QM。

        重点不在这个证明过程本身。本文想要强调的是，由于一个圆锥曲线只是一个圆的射影，因此，圆在射影下不变的任何性质，也将为任意二次曲线所具备。在此例中，交比在射影变换下是不变的，所以若把圆射影成任意二次曲线，等式（abcd）=（a'b'c'd'）仍然成立。以下的证明过程当然完全相同。对于任意二次曲线，这看起来是个令人惊奇的结论，得到它却又是如此容易。

        数学爱好者都熟知的艾尔兰根纲领告诉我们，一种几何研究的无非是在一类特定变换下的不变性，拓扑学的重要性就在于其研究的是在最剧烈变换下的不变性。蝴蝶定理的例子中，我们就通过交比在射影变换下的不变性这个具体的例子加深了对这一重要数学思想的理解，反之，有了这样宏观的视角，蝴蝶定理向普通二次曲线推广的问题也会如此轻松得到解决。

        八月蝴蝶黄，双飞西园草。特别喜欢李白《长干行》里的这两句诗。倒春寒阴云密布的下午，对著名的蝴蝶定理来次旧事重提，用一个漂亮的二次曲线系证法和射影几何证法来双飞，飞过许多美丽的景观。