线性代数基础零碎知识点整理——矩阵、行列式


本篇文章主要对线性代数的基础内容——矩阵、行列式、线性方程组、线性空间等内容进行整理,水平有限仅供参考。




1. 分块矩阵以及其运算性质

分块矩阵即将原矩阵按行(或列)进行分块,使得原方程的表示更为简洁,并且有助于简化运算。

1. 加法及数乘
  • 条件:对于矩阵 A A A B B B,保证其分块方式相同
  • 加法性质 A + B = [ A i j + B i j ] A + B = [A_{ij} + B_{ij}] A+B=[Aij+Bij]
  • 数乘性质 k A = [ k A i j ] kA = [kA_{ij}] kA=[kAij]
2. 转置(permutation)

若对于矩阵 A A A
A = [ A 11 A 12 ⋯ A 1 n A 21 A 22 ⋯ A 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n n ] A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \\ \end{bmatrix} A=A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn
A T = [ A 11 T A 21 T ⋯ A n 1 T A 12 A 22 ⋯ A n 2 T ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n T A 2 n T ⋯ A n n T ] A^T = \begin{bmatrix} A_{11}^T & A_{21}^T & \cdots & A_{n1}^T \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}^T \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n}^T & A_{2n}^T & \cdots & A_{nn}^T \\ \end{bmatrix} AT=A11TA12A1nTA21TA22A2nTAn1TAn2TAnnT

3. 分块矩阵乘法
  • 条件:矩阵 A A A对列的分法(相当于在不同间隔的列之间插入“竖线段”)与矩阵 B B B对行的分法(相当于在不同间隔的行之间插入“横线段”)

  • A = [ A 11 A 12 ⋯ A 1 t A 21 A 22 ⋯ A 2 t ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A t 1 A t 2 ⋯ A t t ] B = [ B 11 B 12 ⋯ B 1 p B 21 B 22 ⋯ B 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ B p 1 B p 2 ⋯ B p p ] A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2t} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{t1} & A_{t2} & \cdots & A_{tt} \\ \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1p} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{p1} & B_{p2} & \cdots & B_{pp} \\ \end{bmatrix} A=A11A21At1A12A22At2A1tA2tAttB=B11B21Bp1B12B22Bp2B1pB2pBpp
    A B = [ C 11 C 12 ⋯ C 1 n C 21 C 22 ⋯ C 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C n 1 C n 2 ⋯ C n n ] AB = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \\ \end{bmatrix} AB=C11C21Cn1C12C22Cn2C1nC2nCnn
    其中 C i j = A i 1 B i 1 + A i 2 B i 2 + . . . + A i t B i j C_{ij} = A_{i1}B_{i1} + A_{i2}B_{i2} + ... + A_{it}B_{ij} Cij=Ai1Bi1+Ai2Bi2+...+AitBij
4. 分块求逆

A = d i a g ( A 1 , A 2 , . . . , A s ) A = {\rm diag}(A_1, A_2, ..., A_s) A=diag(A1,A2,...,As) A − 1 = d i a g ( A 1 − 1 , A 2 − 1 , . . . , A n − 1 ) A^{-1} = {\rm diag}(A_1^{-1}, A_2^{-1}, ..., A_n^{-1}) A1=diag(A11,A21,...,An1)
对于次对角矩阵
A = [ O ⋯ O A 1 O ⋯ A 2 O ⋮ ⋮ ⋮ A s ⋯ O O ] A = \begin{bmatrix} O & \cdots & O & A_1 \\ O & \cdots & A_2 & O \\ \vdots & \quad & \vdots & \vdots \\ A_s & \cdots & O & O \\ \end{bmatrix} A=OOAsOA2OA1OO则有
A − 1 = [ O O ⋯ A s − 1 ⋮ ⋮ ⋮ O A 2 − 1 ⋯ O A 1 − 1 O ⋯ O ] A^{-1} = \begin{bmatrix} O & O & \cdots & A_s^{-1} \\ \vdots & \vdots & \quad & \vdots \\ O & A_2^{-1} & \cdots & O \\ A_1^{-1} & O & \cdots& O \\ \end{bmatrix} A1=OOA11OA21OAs1OO

2. 对角矩阵的一些性质

A = d i a g ( A 1 , A 2 , . . . , A s ) A = {\rm diag}(A_1, A_2, ..., A_s) A=diag(A1,A2,...,As), B = d i a g ( B 1 , B 2 , . . . , B s ) B = {\rm diag}(B_1, B_2, ..., B_s) B=diag(B1,B2,...,Bs), 则有

  1. A B = d i a g ( A 1 B 1 , A 2 B 2 , . . . , A s B s ) AB = {\rm diag}(A_1B_1, A_2B_2, ..., A_sB_s) AB=diag(A1B1,A2B2,...,AsBs)
  2. A m = d i a g ( A 1 m , A 2 m , . . . , A s m ) A^m = {\rm diag}(A_1^m, A_2^m, ..., A_s^m) Am=diag(A1m,A2m,...,Asm)
  3. ∣ A ∣ = ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ ⋯ ∣ A s ∣ |A| = |A_1||A_2|\cdots|A_s| A=A1A2As
  4. A − 1 = d i a g ( A 1 − 1 , A 2 − 1 , . . . , A n − 1 ) A^{-1} = {\rm diag}(A_1^{-1}, A_2^{-1}, ..., A_n^{-1}) A1=diag(A11,A21,...,An1)

3. 可逆矩阵(Invertable matrix)

D e f : Def: Def: 对于矩阵 A A A,若存在一个矩阵 A − 1 A^{-1} A1,使得
A A − 1 = A − 1 A = E AA^{-1} = A^{-1}A = E AA1=A1A=E
则称 A A A可逆矩阵 A − 1 A^{-1} A1为A的逆矩阵

  • 关于定义可以得知的事实:逆矩阵的逆为原矩阵,地位可以交换。并且可逆矩阵必为方阵。而且矩阵的逆矩阵必定是唯一的。
求逆矩阵的方法、判断可逆的方法

定理 \quad A A A n ( n > 1 ) n(n>1) n(n>1) 阶方阵,则 A A A可逆的充分必要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 A=0,并且当 A A A可逆时,其逆矩阵为
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* A1=A1A

可逆矩阵具有的一些性质
  1. ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} A1=A1
  2. ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T (AT)1=(A1)T
  3. ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1} (kA)1=k1A1
  4. ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (AB)1=B1A1
  5. 对于初等矩阵,有 E [ i ( k ) ] − 1 = E [ i ( k − 1 ) ] E[i(k)]^{-1} = E[i(k^{-1})] E[i(k)]1=E[i(k1)], E [ i + j ( k ) ] − 1 = E [ i + j ( − k ) ] E[i + j(k)]^{-1} = E[i + j(-k)] E[i+j(k)]1=E[i+j(k)], E [ i , j ] − 1 = E [ i , j ] E[i, j]^{-1} = E[i, j] E[i,j]1=E[i,j]

4. 关于可交换性(switchable)

当矩阵 A A A B B B满足可交换性时,则必有

  • ( A B ) k = A k B k (AB)^k = A^kB^k (AB)k=AkBk
  • ( A + B ) k (A + B)^k (A+B)k 满足二项式定理

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