数据结构——堆排序详解

1.堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树（二叉树具体概念参见——二叉树详解）的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。

2.堆的实现

堆的实现请参见——二叉树详解（堆的实现）

2.1 堆的向下调整算法

（此文章都已建小堆为例）
向下调整算法前提：当前树左右子树都是小堆

核心思想：选出左右孩子中小的那个，和父亲交换，小的往上浮，大的往下沉，这里是小堆，如果是大堆则相反。

代码实现

void swap(int *x, int *y)
{
	int temp = *x;
	*x = *y;
	*y = temp;
}
//堆向下调整算法
void AdjustDown(int *a, int n, int root)
{
	int parent = root;
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
	{
		//保证孩子节点child为两个孩子中的最小值；保证不越界
		if (a[child] > a[child + 1] && child+1 < n)
			++child;
		if (a[child] < a[parent])
		{
			swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
			break;
	}
}

2.2 堆的向上调整算法

使用场景：向上调整算法适用于向堆中插入数据，当向堆中插入数据就可能会导致堆失去大堆或者小堆的性质，此时需要重新调整，向上调整的思路与向下调整算法的思路类似，向上调整算法只需要从插入结点位置开始和父节点比较。
图示：

代码实现：

void AdjustUp(int *a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
			break;
	}
}

2.3 建堆（数组）

从最后一个非叶子节点位置行依次开始调整，如图：

代码实现：

int parent = (n-2) / 2;
	//首先对每一个非叶子节点进行一次向下调整算法，保证每个非叶子节点的
	//孩子都小于它的父节点，然后可得到最小值，就在堆的顶端的父节点（也叫做建小堆）
	while (parent >= 0)
	{
		AdjustDown(a, n, parent);
		--parent;
	}

2.4 堆排序

升序建大堆，降序建小堆

void HeapSort(int *a, int n)
{
	int parent = (n-2) / 2;
	//首先对每一个非叶子节点进行一次向下调整算法，保证每个非叶子节点的
	//孩子都小于它的父节点，然后可得到最小值，就在堆的顶端的父节点（也叫做建小堆）
	while (parent >= 0)
	{
		AdjustDown(a, n, parent);
		--parent;
	}
	int end = n-1;
	while (end>0)
	{
		//将堆顶的数与最后的end,以此循环，进行交换就可得到有序序列
		//注意：建小堆，得到降序序列
		swap(&a[end], &a[0]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

2.5 堆排序的时间复杂度

所以建堆时间复杂度为O(N)；
向下调整算法时间复杂度 O(logN)；
所以堆排序的时间复杂度为 O(N*logN)