堆排序详细讲解（C++，默认生成小根堆）

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一.堆排序初理解⭐

1.1 堆排序的定义

堆排序是一种基于二叉堆数据结构的排序算法。它利用了堆的性质来实现对数组的原地排序。堆是一个特殊的树状数据结构，通常分为最大堆和最小堆。在最大堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值，而在最小堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。

1.2 堆排序基本思想

1.2.1 建堆

建堆（Heapify）： 将待排序的数组构建成一个二叉堆。这可以通过自底向上地对每个非叶子节点进行堆调整（Heapify）来实现。

1.2.2 堆排序

堆排序： 将堆顶元素（最大元素或最小元素，取决于是最大堆还是最小堆）与数组末尾元素交换，然后重新调整堆，使得剩余元素重新构成一个堆。重复这个过程，直到整个数组有序。

1.3 复杂度

堆排序的关键在于堆的调整过程，确保每一步都维护堆的性质。堆排序的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是待排序数组的长度。由于堆排序是原地排序算法，空间复杂度为 O(1)。

二.堆排序代码详解⭐

2.1 up()

举个例子，如果我们有一个尚未进行排序处理的二叉树，而我们想要得到的是最小堆，就要对树中每个元素进行判断操作，如果该节点中的子节点有比该节点还小的数据元素，就进行 swap。

void up(int u)
{
	while (u / 2 && h[u / 2] > h[u])
	{
		swap(h[u / 2], h[u]);
		u /= 2;
	}
}

注意左右两个子节点下标除以2都会是父节点下标。例如根节点的下标为1，他的左孩子节点下标就是2，右孩子节点下标就是3。在u/2是int型，2/2==3/2。所以使用一个判断条件就可以了。

2.2 down()

原理是和up差不多的，但是up是小值向上，但是down是大值向下。

void down(int u)
{
	int t = u;
	if (u * 2 <= S_size && h[u * 2] < h[t])t = u * 2;
	if (u * 2 + 1 <= S_size && h[u * 2 + 1] < h[t])t = u * 2 + 1;
	if (u != t)//不相同表示根节点不是最小值。
	{
		swap(h[u], h[t]);
		down(t);
	}
}

主函数

int main()
{
	scanf("%d%d", &n,&m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &h[i]);
        S_size = n;

	for (int i = n / 2; i; i++)down(i);

	while (m--)
	{
		printf("%d", h[1]);
		h[1] = h[S_size];
		S_size--;
		down(1);
	}
	return 0;
}

n和m分别代表的是入堆元素个数以及操作次数。
不难发现m是用来消除堆的。

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