如何理解矩阵、线性映射和线性变换、坐标变换、基变换、相似等概念

  这是我的第一篇博客，我尽量解释得清楚一些，有什么错误和建议还希望大家能指出或讨论，谢谢~

  本来是用 CmdMarkdown 写的，但是导入CSDN之后格式有点不一样，不是那么美观，还请大家见谅

  好了，话不多说，进入正题。

一、写这篇文章的原因？

  首先要说明的就是，除了数学课之外，我在哪里还需要用到这些概念。

  目前为研究生一年级，上个学期一门课中学到了张量，课程涉及用张量的方式建立系统的运动学、动力学模型。因为是初次接触张量，这门课上的是一头雾水，到现在也没太弄明白，但为了弄明白它，就不得不先了解标题所提到的那些概念。

  看看我从知乎上找到的张量的一种定义：

• 张量是一个量，其在不同参考系下观察是不同的，在不同参考系下得到的结果可通过某种特定的法则进行变换

  这种定义中就包括参考系、变换等概念。本科时线性代数课程的线性变换部分没有讲，所以只能自学一下。在学习过程中我主要看了b站 MIT Gilbert Strang 老师的 18.06线性代数 以及 3Blue1Brown 的 线性代数的本质 系列，这篇文章就是对其中涉及的线性变换等内容做一个自己的总结、梳理，希望对看的人有一些帮助。

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二、回顾 矩阵

• 线性代数在一维、二维、三维空间中都是直观的、可感知的，在高维空间中虽然难以想象，但不妨就把他当作低维空间，这有助于我们理解，而不至于纠结其到底是什么样子

  上面这句话是我临时想到的，是我目前阶段考虑线性代数问题的思路。正是为了更好地理解，所以在进入正题之前有必要说一下对矩阵的理解。其他关于线性代数更基础的知识可以看知乎的 马同学 ，我认为讲的也很不错。

1. 矩阵

  对于下面的 $3\times 3$ 矩阵：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 6\\ 4& 1& 3\\ 5& 2& 8\end{array}\right]$$   在 $R^3$ 中，其表示将标准正交基 $${\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]}^T,{\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right]}^T,{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]}^T$$   变换为 $${\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 5\end{array}\right]}^T,{\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 2\end{array}\right]}^T,{\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 8\end{array}\right]}^T$$
  如果变换后的向量线性无关，那么新的向量组仍能张成 $R^3$ ，构成 $R^3$ 的一组基，矩阵列空间 $C(A)$ 的维数 $dimC(A)=3$ ；
  如果其中任意两个线性无关，那么新的向量组只能张成 $R^2$ ，即一个平面， $dimC(A)=2$；
  如果新的向量组任意两个都成比例，那么它们只能张成 $R^1$ ，即一条直线， $dimC(A)=1$。
  上面这三种情况对应的矩阵的秩（rank）分别为3、2、1。

  再来看下面的 $2\times 3$ 矩阵：$$B=\left[\begin{array}{ccc}4& 1& 3\\ 5& 2& 8\end{array}\right]$$
  同理，其表示将标准正交基
$${\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]}^T,{\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right]}^T,{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]}^T$$
  变换为 $${\left[\begin{array}{cc}4& 5\end{array}\right]}^T,{\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^T,{\left[\begin{array}{cc}3& 8\end{array}\right]}^T$$   三个二维向量必然线性相关，这说明什么，说明一个 $2\times 3$ 矩阵将 $R^3$ 变为 $R^2$ 或者 $R^1$ ，起到了降维的效果（这里不是那么严谨，但是应该可以理解我的意思）。

2. 矩阵与向量、矩阵相乘

  有了上面的铺垫，我们再来看矩阵与向量和矩阵的相乘。我们都知道，矩阵与向量相乘可以认为是对矩阵的列的线性组合，组合系数就是向量的各个元素。那么如果以前面的观点来看呢？那就是先把某个空间的标准正交基变换为矩阵的列，再对新的向量作线性组合，组合系数不变。
  以下面的乘法为例：$$\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 6\\ 4& 1& 3\\ 5& 2& 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$   先将标准正交基变换为 $${\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 5\end{array}\right]}^T,{\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 2\end{array}\right]}^T,[\begin{array}{ccc}6& 3& \end{array}$$