如何理解矩阵、线性映射和线性变换、坐标变换、基变换、相似等概念
这是我的第一篇博客，我尽量解释得清楚一些，有什么错误和建议还希望大家能指出或讨论，谢谢~
本来是用 CmdMarkdown 写的，但是导入CSDN之后格式有点不一样，不是那么美观，还请大家见谅
好了，话不多说，进入正题。
一、写这篇文章的原因？
首先要说明的就是，除了数学课之外，我在哪里还需要用到这些概念。
目前为研究生一年级，上个学期一门课中学到了张量，课程涉及用张量的方式建立系统的运动学、动力学模型。因为是初次接触张量，这门课上的是一头雾水，到现在也没太弄明白，但为了弄明白它，就不得不先了解标题所提到的那些概念。
看看我从知乎上找到的张量的一种定义：
- 张量是一个量，其在不同参考系下观察是不同的，在不同参考系下得到的结果可通过某种特定的法则进行变换
这种定义中就包括参考系、变换等概念。本科时线性代数课程的线性变换部分没有讲，所以只能自学一下。在学习过程中我主要看了b站 MIT Gilbert Strang 老师的 18.06线性代数 以及 3Blue1Brown 的 线性代数的本质 系列，这篇文章就是对其中涉及的线性变换等内容做一个自己的总结、梳理，希望对看的人有一些帮助。
二、回顾 矩阵
- 线性代数在一维、二维、三维空间中都是直观的、可感知的，在高维空间中虽然难以想象，但不妨就把他当作低维空间，这有助于我们理解，而不至于纠结其到底是什么样子
上面这句话是我临时想到的，是我目前阶段考虑线性代数问题的思路。正是为了更好地理解，所以在进入正题之前有必要说一下对矩阵的理解。其他关于线性代数更基础的知识可以看知乎的 马同学 ，我认为讲的也很不错。
1. 矩阵
对于下面的 3 × 3 3\times3 3×3 矩阵：
A = [ 2 2 6 4 1 3 5 2 8 ] A = \begin{bmatrix} 2&2&6 \\ 4&1&3 \\ 5&2&8 \\ \end{bmatrix} A=⎣⎡245212638⎦⎤ 在 R 3 R^3 R3 中，其表示将标准正交基 [ 1 0 0 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 0 0 1 ] T \begin{bmatrix} 1&0&0 \end{bmatrix}^T , \begin{bmatrix} 0&1&0 \end{bmatrix}^T , \begin{bmatrix} 0&0&1 \end{bmatrix}^T [100]T,[010]T,[001]T 变换为 [ 2 4 5 ] T , [ 2 1 2 ] T , [ 6 3 8 ] T \begin{bmatrix} 2&4&5 \end{bmatrix}^T , \begin{bmatrix} 2&1&2 \end{bmatrix}^T , \begin{bmatrix} 6&3&8 \end{bmatrix}^T [245]T,[212]T,[638]T
如果变换后的向量线性无关，那么新的向量组仍能张成 R 3 R^3 R3 ，构成 R 3 R^3 R3 的一组基，矩阵列空间 C ( A ) C(A) C(A) 的维数 d i m C ( A ) = 3 dimC(A)=3 dimC(A)=3 ；
如果其中任意两个线性无关，那么新的向量组只能张成 R 2 R^2 R2 ，即一个平面， d i m C ( A ) = 2 dimC(A)=2 dimC(A)=2；
如果新的向量组任意两个都成比例，那么它们只能张成 R 1 R^1 R1 ，即一条直线， d i m C ( A ) = 1 dimC(A)=1 dimC(A)=1。
上面这三种情况对应的矩阵的秩（rank）分别为3、2、1。
再来看下面的 2 × 3 2\times3 2×3 矩阵： B = [ 4 1 3 5 2 8 ] B = \begin{bmatrix} 4&1&3 \\ 5&2&8 \\ \end{bmatrix} B=[451238]
同理，其表示将标准正交基
[ 1 0 0 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 0 0 1 ] T \begin{bmatrix} 1&0&0 \end{bmatrix}^T , \begin{bmatrix} 0&1&0 \end{bmatrix}^T , \begin{bmatrix} 0&0&1 \end{bmatrix}^T [100]T,[010]T,[001]T
变换为 [ 4 5 ] T , [ 1 2 ] T , [ 3 8 ] T \begin{bmatrix} 4&5 \end{bmatrix}^T , \begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix}^T , \begin{bmatrix} 3&8 \end{bmatrix}^T [45]T,[12]T,[38]T 三个二维向量必然线性相关，这说明什么，说明一个 2 × 3 2\times3 2×3 矩阵将 R 3 R^3 R3 变为 R 2 R^2 R2 或者 R 1 R^1 R1 ，起到了降维的效果（这里不是那么严谨，但是应该可以理解我的意思）。
2. 矩阵与向量、矩阵相乘
有了上面的铺垫，我们再来看矩阵与向量和矩阵的相乘。我们都知道，矩阵与向量相乘可以认为是对矩阵的列的线性组合，组合系数就是向量的各个元素。那么如果以前面的观点来看呢？那就是先把某个空间的标准正交基变换为矩阵的列，再对新的向量作线性组合，组合系数不变。
以下面的乘法为例： [ 2 2 6 4 1 3 5 2 8 ] [ 1 2 3 ] \begin{bmatrix} 2&2&6 \\ 4&1&3 \\ 5&2&8 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡245212638⎦⎤⎣⎡123⎦⎤ 先将标准正交基变换为 [ 2 4 5 ] T , [ 2 1 2 ] T , [ 6 3 8 ] T \begin{bmatrix} 2&4&5 \end{bmatrix}^T , \begin{bmatrix} 2&1&2 \end{bmatrix}^T , \begin{bmatrix} 6&3&8 \end{bmatrix}^T [245]T,[212]T,[63