高等数学（下）无穷级数

1 常数项级数的概念和性质

1.1 定义

1.1.1 无穷级数

设给定一个数列： $u_1,u_2,u_3\dots u_n,\dots$

式子

$$u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$

称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，其中$u_n$成为一般项或通项。

1.1.2 部分和

前 $n$ 项的和为：$S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$，称$S_1, S_2, \dots S_n \dots $为部分和数列。

1.1.3 收敛

若${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$， 称数列收敛，$S$为级数的和，即：

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=S$$

若${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ 不存在，称级数发散

1.2 性质

• 线性性质

若级数$\sum u_n,\sum v_n$ 都收敛，则

$\sum (a{u}_n\pm b{v}_n)$也收敛，且 $\sum (a{u}_n\pm b{v}_n)=a\sum u_n\pm b\sum v_n$

$a,b$为常数

• 级数中去掉、加上或改变有限项，敛散性不变

• 级数加括号增强收敛性

• 若级数收敛，则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$$

1.3 常见级数

1.3.1 几何级数

无穷级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^n+\dots$$

叫做等比级数（几何级数）

当$|q|<1$时收敛， 当$|q|\ge 1$时发散。

1.3.2 p级数

无穷级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\cdots +\frac{1}{n^p}+\dots$$

叫做p级数

当$|p|>1$时收敛， 当$|p|\le 1$时发散。

2 常数项级数的审敛法

2.1 正项级数

2.1.1 定义

如果级数的每一项都大于等于零，称级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 为正项级数

2.1.2 收敛

正数项级数收敛的充要条件是它的部分和数列{S _ n} 有界

2.2 正项级数的审敛法

2.2.1 比较审敛法

2.2.1.1 描述

设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$ 都是正项级数，且$u_n\le v_n(n=1,2,3\dots )$。若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，反之，若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散, 则级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$发散。

2.2.1.2 极限形式

设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$ 都是正项级数，且

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l$$

• 若$0<l<+\infty$，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 与 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$，同敛散。

• 若$l=0$，则当${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，有 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$也收敛。

• 若$l=+\infty$，则当${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散，有 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$也发散。

2.2.1.3 记忆法

大的收敛，小的必收敛； 小的发散，大的必发散。

2.2.2 比值审敛法

设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$是正项级数，如果

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$$

则当

• $\rho <1$时级数收敛

• $\rho =1$时级数不定

• $\rho >1$时级数发散

2.2.3 根式审敛法

设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$是正项级数，如果

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho$$

则当

• $\rho <1$时级数收敛

• $\rho =1$时级数不定

• $\rho >1$时级数发散

2.2.4 极限审敛法

利用与$p$级数的比较审敛法可以获得

• 若${\lim }_{n\to \infty }n{u}_n=l$, 当 $l>0$ 或 $l=+\infty$ 时，则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散。

• 若${\lim }_{n\to \infty }{n}^p{u}_n=l$, 当 $0\le l<+\infty$ 时，则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛。

2.3 交错级数

2.3.1 定义

${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$或${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$（正负交替出现的级数）

2.4 交错级数的审敛法

2.4.1 莱布尼兹审敛法

如果交错级数${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$满足条件：

$$u_n\ge u_{n+1}(n=1,2,3,\dots )$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$$

则级数收敛，且其和$s\le u_1$，其余项$r_n$的绝对值$|r_n|\le u_{n+1}$

2.5 绝对收敛与条件收敛

设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$为任意项级数

若$|{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n|$，收敛，则称其为绝对收敛

若$|{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n|$发散，但${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则称其为条件收敛。

绝对收敛必收敛。

3 函数项级数的基本概念

3.1 定义

称形如${\sum }_{n=0}^{\infty }{u}_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots +u_n(x)+\dots$ 的级数为函数项级数。

3.2 收敛点与发散点

$\forall x_0\in I,{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$收敛，称$x_0$为函数项级数的收敛点

$\forall x_0\in I,{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$发散，称$x_0$为函数项级数的发散点

3.3 收敛域

收敛点的全体

3.4 和函数

若${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$ 收敛，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n=s(x)$，称 $s(x)$ 为和函数。

4 幂级数

4.1 定义

形如

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+\dots$$

的无穷级数。

4.2 幂级数收敛定理——阿贝尔定理

4.2.1 描述

如果幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$当$x=x_0(x̸=0)$时收敛，则对满足不等式$|x|<|x_0|$的一切$x$，幂级数都收敛，并且是绝对收敛。

如果幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$当$x=x_0(x̸=0)$时发散，则对满足不等式$|x|>|x_0|$的一切$x$，幂级数都发散。

4.2.2 注

• 幂级数的收敛域在发散域的内部

• 幂级数的收敛域为区间

• 存在正数$R$，使${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在$(-R,R)$ 内收敛，且绝对收敛。

• 收敛半径：R

• 收敛区间 ：$(-R,R)$

• 收敛域：收敛区间 $\cup$收敛端点

4.3 收敛半径与收敛域的计算

4.3.1 收敛半径R的求法

若${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的系数$a_n$满足${\lim }_{n\to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$，或 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$， （$\rho$为正常数或$+\infty$），那么他的收敛半径为：

• 当$0<\rho <+\infty$，有$R=\frac{1}{\rho }$

• 当$\rho =0$，有$R=+\infty$

• 当$\rho =+\infty$，有$R=0$

4.3.2 求幂级数收敛域的基本步骤

求出收敛半径 $R$

判别常数项级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{R}^n,{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(-R{)}^n$的收敛性。

4.4 幂级数的性质

设${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n,{\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$的收敛半径分别为$R_1,R_2$，其和函数分别为$s_1(x),s_2(x)$，又设$R=min(R_1,R_2)$，则有以下运算性质：

4.4.1 加减法

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\pm \sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)x^n=s_1(x)\pm s_2(x)$$

其收敛半径为$R$

4.4.2 乘法

$$(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n)\cdot (\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n)=s_1(x)\cdot s_2(x)$$

其收敛半径为$R$

4.4.3 逐项求导

$$s^{\prime }(x)=(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$$

且收敛半径不变，但端点的敛散性可能会变。

4.4.4 逐项求积

$${\int }_0^{x}s(x)dx={\int }_0^x(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n)dx=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$$

且收敛半径不变，但端点的敛散性可能会变。

5 函数展开成幂级数

5.1 泰勒级数

$$f(x)=f(x_0)+f^{(1)}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)(x-x_0{)}^2}{2!}+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n}{n!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n}{n!}$$

5.2 麦克劳林级数

当泰勒级数取 $x_0=0$时，称级数为麦克劳林级数：

$$f(x)=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)x^2}{2!}+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}$$

5.3 泰勒收敛定理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内具有各阶导数，则 $f(x)$ 在该邻域内可展开为泰勒级数的充要条件是

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=0$$

5.4 函数幂级数的唯一性

如果函数可展开为幂级数，则展开式是唯一的。

5.5 计算法

5.5.1 直接法

利用泰勒展开式成立的条件检验其是否存在

利用泰勒展开式直接写出函数的幂级数展开式

5.5.2 间接法

利用已知的幂级数展开式，通过幂级数的运算法计算

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{x}^n,(-\infty <x<+\infty )$$

$$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{x}^{2k+1},(-\infty <x<+\infty )$$

$$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n,(-1<x<+1)$$

$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n,(-1<x\le +1)$$

$$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k},(-\infty <x<+\infty )$$

6 三角函数系的正交性

三角函数系

$$1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x\cdots \cos nx,\sin nx,\cdots$$

在区间$[-\pi ,\pi ]$上正交，就是指在三角函数系中任意两个不同的两个函数的乘积在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的积分等于零，即满足

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nxdx=\{\begin{array}{r}0,m̸=n\\ \pi ,m=n\end{array}$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nxdx=\{\begin{array}{r}0,m̸=n\\ \pi ,m=n\end{array}$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\cos nxdx=0,{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nxdx=0$$

其中$m,n$都是正整数。

7 傅里叶级数

7.1 描述

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

其中

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$

7.2 傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷充分条件）

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，如果它满足

• 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

• 在一个周期内至多只有有限个极值点

则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，并且

当 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时，级数收敛于$f(x)$

当 $x$ 是 $f(x)$ 的间断点时，级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$

7.3 周期延拓

将只在区间$[-\pi ,\pi ]$上有定义且满足收敛定理的条件，我们可以将其在定义域外补充它的定义，使它拓广成一个周期为$2\pi$的周期函数 $\phi (x)$，然后就可以将$\phi (x)$展开为傅里叶级数，最后将其限制在$[-\pi ,\pi ]$内，此时$\phi (x)\equiv f(x)$

7.4 正弦级数和余弦级数

奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

7.5 奇延拓与偶延拓

设函数$f(x)$定义在$[0,\pi ]$上且满足收敛定理的条件

7.5.1 奇延拓

令

$$F(x)=\{\begin{array}{rlr}& f(x),& 0<x\le \pi \\ & 0,& x=0\\ & -f(-x),& -\pi <x<0\end{array}$$

可以获得$f(x)$的正弦级数展开式

7.5.2 偶延拓

令

$$F(x)=\{\begin{array}{rlr}& f(x),& 0\le x\le \pi \\ & f(-x),& -\pi <x<0\end{array}$$

可以获得$f(x)$的余弦级数展开式

7.6 一般周期函数的傅里叶级数

设周期为$2l$的周期函数$f(x)$满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})(x\in C)$$

其中

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

$$C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]\}$$