剑指offer(C++)-JZ43：整数中1出现的次数(算法-其他)

作者：翟天保Steven
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题目描述：

输入一个整数 n ，求 1～n 这 n 个整数的十进制表示中 1 出现的次数
例如， 1~13 中包含 1 的数字有 1 、 10 、 11 、 12 、 13 因此共出现 6 次

注意：11 这种情况算两次

数据范围：1≤n≤30000 

进阶：空间复杂度O(1)  ，时间复杂度O(logn) 

示例：

输入：

13

返回值：

6

解题思路：

本题考察算法思维。两种解题思路：

1)按位统计法

       将数字拆解，按位数统计1出现的次数。举例说明其中的规律。

       假设数字有32134。

       分析个位数出现1的次数：由3213个10和1个4组成，每个10里面就有1个1(只看个位)，而4又大于1，所以还会出现1次个位为1的数字。

       分析十位数出现1的次数：由321个100和1个34组成，每个100里面就有10个1(只看十位)，从10到19，而34大于19，说明还会出现10次十位为1的数字。

       分析百位数出现1的次数：由32个1000和1个134组成，每个1000里面就有100个1(只看百位)，从100到199，而134小于199，说明还会出现35次百位为1的数字，即100到134。

       基于上述规律列出每位数出现次数的公式：bitcount = n / (b * 10) * b + min(max(n % (b * 10)- b + 1, (long long)(0)), b)。

       其中n为数字，b为当前位数，下面用百位数分析举例。n / (b * 10) 计算出当前位数高一级位的数量，*b表示对应1的数量，即有32个1000，32个1000就说明有32*100个1；max(n % (b * 10)- b + 1, (long long)(0))用来判断余出来的部分134是否大于100，如果换成一个小于100的数，那就取0，大于100的数就取超出100的部分，比如134就是100到134，共35个数；后面的min，是为了对超出100的部分做限制，假设134是234，那应该100到199最多100个数而不是235个数。

       该算法时间复杂度为O(log10 n)，与位数相关，常数级变量，本题的理想解法。

2)暴力循环

       循环所有数字，对每个数字的所有位数也进行循环。该算法时间复杂度为O(nlog10 n)。

测试代码：

1)按位统计法

class Solution {
public:
    // 统计1出现的次数
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int count = 0;
        long long b = 1;
        // b代表位数，从1到10到100，以此类推直到超过n
        while(b <= n){
            // 假设数字32134
            // 分析个位数出现1的次数：由3213个10和1个4组成，每个10里面就有1个1(只看个位)，而4又大于1，所以还会出现1次个位为1的数字
            // 分析十位数出现1的次数：由321个100和1个34组成，每个100里面就有10个1(只看十位)，从10到19，而34大于19，说明还会出现10次十位为1的数字
            // 分析百位数出现1的次数：由32个1000和1个134组成，每个1000里面就有100个1(只看百位)，从100到199，而134小于199，说明还会出现35次百位为1的数字，即100到134
            // 基于上述规律，可以列出下式
            // 后半段的min和max是为了判断后面余的那部分对应位数出现次数
            count += n / (b * 10) * b + min(max(n % (b * 10)- b + 1, (long long)(0)), b);
            b *= 10;
        }
        return count;
    }
};

2)暴力循环

class Solution {
public:
    // 统计1出现的次数
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int count = 0;
        // 循环所有数字
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            // 循环每个数字的所有位数
            for(int j = i; j > 0; j /= 10){
                if(j % 10 == 1){
                    count++;
                }
            }
        } 
        return count;
    }
};