[动态规划] 过河卒

[动态规划] 过河卒

题目描述

棋盘上 $A$ 点有一个过河卒，需要走到目标 $B$ 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 $C$ 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，$A$ 点 $(0,0)$、$B$ 点 $(n,m)$，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从 $A$ 点能够到达 $B$ 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 $B$ 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

样例 #1

样例输入 #1

6 6 3 3

样例输出 #1

6

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 20$，$0\le$ 马的坐标 $\le 20$。

【题目来源】

NOIP 2002 普及组第四题

解题分析
其实本题可以采用动态规划进行处理，首先，我们要知道，如果一个数从(0,0)走到（i,j），那么这个数一定要先走到(i-1,j)或者是(i,j-1)位置，再走一步再到(i,j)。那么问题就十分清楚了，我们创建一个dp数组，dp[i][j]表示从(0,0)到(i,j)走的路径数，则我们有

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]

当然，在本题中，我们还要考虑这个马的位置和他能跳到的位置，这些位置是不能走的，我们在填充dp数组的时候将其设为0即可，即不可能跳到的位置就为0。此外，为了防止数组的越界，我们把题目涉及的所有坐标都加上2（即x，y同时加上2，这也有一部分原因是因为马跳格子的时候，有可能会使得坐标加减2）。

代码实现

#include 
using namespace std;
const int dy[]={-2,-1,1,2,2,1,-1,-2};
const int dx[]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};
bool a[30][30]={0};
long long int dp[30][30]={0};
int main(){
    int xb,yb,xm,ym;
    cin>>xb>>yb>>xm>>ym;
    a[xm+2][ym+2]=1;
    for(int i=0;i<8;i++){
        a[xm+2+dx[i]][ym+2+dy[i]]=1;
    }
    dp[1][2]=1;
    for(int i=2;i<=xb+2;i++){
        for(int j=2;j<=yb+2;j++){
            if(!a[i][j])
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        }
    }
    cout<<dp[xb+2][yb+2]<<endl;
    return 0;
}