[带余除法寻找公共节点]二叉树

二叉树

题目描述

如上图所示，由正整数1, 2, 3, ...组成了一棵无限大的二叉树。从某一个结点到根结点（编号是1的结点）都有一条唯一的路径，比如从10到根结点的路径是(10, 5, 2, 1)，从4到根结点的路径是(4, 2, 1)，从根结点1到根结点的路径上只包含一个结点1，因此路径就是(1)。对于两个结点x和y，假设他们到根结点的路径分别是(x1, x2, ... ,1)和(y1, y2, ... ,1)（这里显然有x = x1，y = y1），那么必然存在两个正整数i和j，使得从xi 和 yj开始，有xi = yj , xi + 1 = yj + 1, xi + 2 = yj + 2,... 现在的问题就是，给定x和y，要求xi（也就是yj）。

关于输入

输入只有一行，包括两个正整数x和y，这两个正整数都不大于1000。

关于输出

输出只有一个正整数xi。

例子输入

10 4

例子输出

2

解题分析

这个问题的关键在于理解题目中的二叉树的特性。在这个二叉树中，每个节点 i 的两个子节点是 2*i 和 2*i+1。因此，每个节点 i 的父节点是 i/2。这是一个关键的性质，因为它意味着我们可以通过除以2来找到任何节点的父节点。

给定两个节点 x 和 y，我们的目标是找到他们的最近公共祖先。由于我们可以通过除以2来找到任何节点的父节点，因此一个直观的方法是从 x 和 y 开始，不断地找他们的父节点，直到我们找到一个公共的节点。这个公共的节点就是他们的最近公共祖先。

在具体实现上，我们定义了一个函数`findCommonAncestor`，它接受两个整数 x 和 y 作为输入，返回这两个整数在二叉树中的最近公共祖先。在这个函数中，我们使用了一个循环，不断地将较大的数除以2，直到 x 和 y 相等。这是因为在这个二叉树中，一个节点的父节点总是它的一半，所以我们可以通过不断地将较大的数除以2来找到两个节点的最近公共祖先。

在`main`函数中，我们从用户那里获取输入的 x 和 y，调用`findCommonAncestor`函数找到他们的最近公共祖先，并打印出结果。

这个算法的时间复杂度是 O(log n)，其中 n 是输入的节点的编号。这是因为在最坏的情况下，我们需要找到节点 1，这需要做 log n 次除法操作。因此，这个算法是非常高效的。

代码实现

#include 

int findCommonAncestor(int x, int y) {
    while (x != y) {
        if (x > y) {
            x /= 2;
        } else {
            y /= 2;
        }
    }
    return x;
}

int main() {
    int x, y;
    scanf("%d %d", &x, &y);
    printf("%d\n", findCommonAncestor(x, y));
    return 0;
}