【题解】洛谷 CF788B Weird journey

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题目

原题链接

问题描述

总共有 $n$ 个节点，$m$ 条路径，要求其中 $m-2$ 条路径走两遍，剩下 $2$ 条路径仅走一遍，问不同的路径总数有多少，如果仅走一遍的两条边不同则将这两条路径视为不同。

输入格式

• 第一行两个整数n和m,表示图有n个节点m条边，数据保证不存在重边
• 接下来m行，每行两个整数u,v，表示节点u和节点v之间有一条无向边

输出格式

• 一个整数，表示方案数

数据范围

$1\le n,m\le 1\times 10^6$

输入/输出例子

输入

5 4
1 2
1 3
1 4
1 5

输出

6

提示

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解题思路

分析

考虑直接将每条边都当作两条边，那么题意及从 $2n$ 条边任选 $2$ 条不是连接相同节点的边删除后图存在欧拉路，求删边的方案数。

如果本来的图不连通，那么肯定没有合适的方案，直接输出 $0$ 就可以了。

否则我们在分析：由于我们是将每条边当作两条边的，那么对于建的图来说，每个顶点的度数为偶数，及一定存在欧拉路。

那么就来考虑删的边了。

我们可以把边分为自环和非自环两类。

为什么呢？

因为自环只跟一个顶点有关系，而非自环跟两个顶点有关系。
如果删除了一个自环，那剩下的所有点的度数仍然为偶数，所以可以随意删除下一条边。
而对于删除的第二条边，如果是非自环，那么图就有两个积点，存在欧拉路径，如果是自环，那么图所有点为偶点，存在欧拉回路。

所以可以得出自环的贡献为：
$cnt\times (m-cnt)+cnt\times (cnt-1)/2$
其中 $cnt$ 为自环数，$m$ 是边数。

如果删除两条非自环，如果可行，那么它们一定共顶点，只有这样才会使共顶点的度数 $-2$，仍为偶点，两外两个点的度数 $-1$，为积点，存在欧拉路径。

所以非自环的贡献为：
${\sum }_{i=1}^n\frac{l_i\times (l_i-1)}{2}$
其中 $l_i$ 为每个顶点连接的边数（不包括自环）。

Code

#include
#define int long long
const int N=1e6+1;
using namespace std;
vector<int>E[N];
int n,m,x[N],y[N],deg[N],ans,vis[N],cnt,fa[N];
inline int ga(int x)
{
	return x==fa[x]?fa[x]:fa[x]=ga(fa[x]);
}
inline void uni(int x,int y)
{
	int fx=ga(x),fy=ga(y);
	if(fx!=fy)
		fa[fx]=fy;
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL),cout.tie(NULL);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>x[i]>>y[i];
		uni(x[i],y[i]);
		if(x[i]==y[i])
			cnt++;
		else
			E[x[i]].push_back(y[i]),E[y[i]].push_back(x[i]);
	}
	for(int i=2;i<=m;i++)
		if(ga(x[i])!=ga(x[1]))
			cout<<"0",exit(0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int le=E[i].size();
		ans+=le*(le-1)/2;
	}
	ans+=cnt*(cnt-1)/2;
	ans+=cnt*(m-cnt);
	cout<<ans;
	return 0;
}

更多方法

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