C++ day41 动态规划 整数拆分 不同的二叉搜索树

题目1：343 整数拆分

题目链接：整数拆分

对题目的理解

将正整数n，拆分成k个正整数的和（k>=2）使得这些整数的乘积最大化，返回最大乘积

动规五部曲

1）dp数组的含义以及其下标i的含义

dp[i]：对 i 进行拆分，得到最大的乘积为dp[i]

2）递推公式

dp[i] = j*(i-j)    将i拆分成2个数j和-j

dp[i] = j*dp[i-j]   将i拆分成3个或3个以上的数

因为要求的是最大乘积，所以递推公式为dp[i]=max(j*(i-j)，j*dp[i-j]，dp[i])

3）dp数组初始化

dp[0] = 0  0只能拆成0+0，而题目要求至少拆分成两个正整数的和，所以初始化dp[0]没有意义

dp[1] = 0   1只能拆成0+1，而题目要求至少拆分成两个正整数的和，所以初始化dp[1]没有意义

dp[2] = 1    只能拆分成1+1，是两个正整数

所以只初始化dp[2]就ok

4）遍历顺序

dp[i]根据dp[i-j]，所以i一定是从前向后遍历，且i是从3开始遍历，j是从1开始遍历（因为i-j>=2）

5）打印dp数组

代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        //定义dp数组
        int dp[n+1];
        //初始化dp数组
        dp[2]=1;
        //递推
        for(int i=3;i<=n;i++){
            for(int j=1;j

这段代码会报错

报错的原因是因为dp数组使用int直接定义，不会内部初始化为0，而是任意值，所以造成这种超时错误，所以需要使用vector进行数组的定义，使用vector会默认将数组的元素定义为0

将代码改正，使用vector定义

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        //定义dp数组
        vector dp(n+1);
        //初始化dp数组
        dp[2]=1;
        //递推
        for(int i=3;i<=n;i++){
            for(int j=1;j

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)

题目2：96  不同的二叉搜索树

题目链接：不同的二叉搜索树

对题目的理解

由n个节点组成，节点值从1到n互不相同的二叉搜索树有多少种

首先明确二叉搜索树长什么样

二叉搜索树是一个有序树：

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉搜索树

从图中可以看出，n为3时，当根节点为1和3时，它的左右子树布局与n为2时相同，只是数值不同而已，当根节点为2时，它的左右子树的布局与n为1时相同，因此找到了内部推导关系

动规五部曲

1）dp数组的含义以及下标i的含义

dp[i]:节点值从1到i的二叉搜索树的种类

2）递推公式

以j为头节点（j会枚举头节点从1到i），那么以j为头节点的左子树就是j-1，右子树就是i-j

dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]，dp[i]收录节点i的所有情况（节点值从1到i二叉树的种类）

3）dp数组初始化

dp[0]=1,空子树也是一种二叉搜索树

4）遍历顺序

根据递推公式，dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]，节点i的二叉搜索树种类，都是依靠其之前的节点确定的，所以节点要从小到大遍历

5）打印dp数组

代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        //定义dp数组
        vector dp(n+1);
        //初始化dp数组
        dp[0] = 1;
        //递推
        for(int i=1;i<=n;i++){//因为节点值从1到n,每一个值都要作为根节点，都是一类情况
            for(int j=1;j<=i;j++){//j枚举所有从1到i所有头节点的情况
                dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];//左子树是j-1个节点，右子树是i-j个节点
            }
        }
        return dp[n];

    }
};

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)