The PageRank Citation Ranking Bringing Order to the Web（1997 谷歌搜索引擎算法）以及用PageRank计算四大名著人物重要性及关系代码
The PageRank Citation Ranking Bringing Order to the Web----《PageRank引用排名：给互联网带来秩序》
PageRank将互联网表示成了图（有向图），节点为网络，边为引用关系。
节点重要性排序算法：一个网页的重要性以其入度衡量，不同入度边的权重不同，需要根据引用该网页的其他网页的重要性（递归问题）。
理解 PageRank 的五个角度：
① 迭代求解线性方程 （ O ( n 3 ) O({n^3}) O(n3)）
r j ( t + 1 ) = ∑ i → j r i ( t ) d i r_j^{(t + 1)} = \sum\limits_{i \to j} {\frac{{r_i^{(t)}}}{{{d_i}}}} rj(t+1)=i→j∑diri(t)， 其中， d i {{d_i}} di 是节点 i i i 的出度数量。
注：重要节点引出的稀少链接，权重更高。
举例：
② 迭代左乘 M M M 矩阵 （ M M M 矩阵每列求和为1，if i → j , M j i = 1 d i i \to j,{M_{ji}} = \frac{1}{{{d_i}}} i→j,Mji=di1 ）
幂迭代运算： . . . M ( M ( M ( r ) ) ) ...M(M(M(r))) ...M(M(M(r)))
③ 矩阵的特征向量 （ O ( n 3 ) O({n^3}) O(n3)）
1 ⋅ r 1 = M ⋅ r 0 1 \cdot {r^1} = M \cdot {r^0} 1⋅r1=M⋅r0 （即特征值为1的特征向量）
其中，1是特征值， r ⃗ 0 {\vec r^0} r0 是 M M M 矩阵的特征向量。
④ 随机游走
p ( t + 1 ) = M ⋅ p ( t ) = p ( t ) p(t + 1) = M \cdot p(t) = p(t) p(t+1)=M⋅p(t)=p(t) （稳定收敛分布）
其中， p ( ⋅ ) p( \cdot ) p(⋅) 表示访问概率。
⑤ 马尔科夫链（状态和状态之间的转移）
类似随机游走
PageRank 算法步骤：
初始化： r ( 0 ) = [ 1 / N , . . . , 1 / N ] T {r^{(0)}} = {[1/N,...,1/N]^T} r(0)=[1/N,...,1/N]T
迭代： r ( t + 1 ) = M ⋅ r ( t ) ⇔ r j ( t + 1 ) ∑ i → j r i ( t ) d i {r^{(t + 1)}} = M \cdot {r^{(t)}} \Leftrightarrow {r_j}^{(t + 1)}\sum\limits_{i \to j} {\frac{{r_i^{(t)}}}{{{d_i}}}} r(t+1)=M⋅r(t)⇔rj(t+1)i→j∑diri(t)
迭代收敛（结束）条件： ∑ i ∣ r ( t + 1 ) − r ( t ) ∣ 1 < ε \sum\nolimits_i {{{\left| {{r^{(t + 1)}} - {r^{(t)}}} \right|}_1} < \varepsilon } ∑i r(t+1)−r(t) 1<ε
存在问题：
① 爬虫：仅指向自己
② 死胡同节点
解决方案： β % \beta \% β% 的概率按原路线随机游走， ( 1 − β ) % (1 - \beta )\% (1−β)%的概率被随机传送到其他节点，死胡同节点100%被传送走（即 M 矩阵中该节点的列为 0）。
r j = ∑ i → j β r i d i + ( 1 − β ) 1 N {r_j} = \sum\limits_{i \to j} {\beta \frac{{{r_i}}}{{{d_i}}} + (1 - \beta )} \frac{1}{N} rj=i→j∑βdiri+(1−β)N1
谷歌矩阵：
G = β M + ( 1 − β ) [ 1 N ] N × N G = \beta M + (1 - \beta ){[\frac{1}{N}]_{N \times N}} G=βM+(1−β)[N1]N×N
r = G ⋅ r r = G \cdot r r=G⋅r
代码：四大名著人物重要性及关系
数据集下载地址：http://openkg.cn/dataset/ch4masterpieces
import networkx as nx # 图数据挖掘包
import numpy as np # 数据分析
import random
import pandas as pd
# 数据可视化
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用来正常显示负号
# 导入数据集
df = pd.read_csv('./data/西游记/triples.csv')
# df = pd.read_csv('./data/红楼梦/triples.csv')
# df = pd.read_csv('./data/三国演义/triples.csv')
# df = pd.read_csv('./data/水浒传/triples.csv')
# 图的边
edges = [edge for edge in zip(df['head'], df['tail'])]
# 建图
G = nx.DiGraph()
# 添加边
G.add_edges_from(edges)
# print(G)
pos = nx.spring_layout(G, iterations=3, seed=5)
# 可视化
'''
plt.figure(figsize=(15, 14))
nx.draw(G, pos, with_labels=True)
plt.show()
'''
# 计算每个节点pagerank重要度
pagerank = nx.pagerank(
G,
alpha=0.85,
personalization=None,
max_iter=100,
tol=1e-06,
nstart=None,
dangling=None,
)
# print(pagerank)
# 从高到低排序
# pagerank = sorted(pagerank.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)
# print(pagerank)
# 节点尺寸
node_sizes = (np.array(list(pagerank.values())) * 8000).astype(int)
# 节点颜色
M = G.number_of_edges()
edge_colors = range(2, M + 2)
plt.figure(figsize=(15, 14))
# 绘制节点
nodes = nx.draw_networkx_nodes(G, pos, node_size=node_sizes, node_color=node_sizes)
# 绘制连接
edges = nx.draw_networkx_edges(
G,
pos,
node_size=node_sizes,
arrowstyle="->",
arrowsize=20,
edge_color=edge_colors, # 连接颜色
edge_cmap=plt.cm.plasma, # 连接配色方案
width=2 # 连接线宽
)
# 设置每个连接的透明度
edge_alphas = [(5 + i) / (M + 4) for i in range(M)]
for i in range(M):
edges[i].set_alpha(edge_alphas[i])
ax = plt.gca()
ax.set_axis_off()
plt.show()
效果显示：
西游记：
红楼梦：
三国演义：
水浒传：
参考资料：
Page L. The pagerank citation ranking: Bringing order to the web. Technical report[J]. Stanford Digital Library Technologies Project, 1998, 1998.
https://www.bilibili.com/video/BV1uP411K7yN/?spm_id_from=333.337.top_right_bar_window_history.content.click&vd_source=7cd832849e4c246304cfbcad8b79ff7a