【考研数学】数学一“背诵”手册（一）| 高数部分（2）

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引言

高数一篇文章还是写不太下，再分一些到这里来吧

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一、高数

级数

阿贝尔定理：若级数 $\sum a_n{x}^n$ 当 $x=x_0$ 时收敛，则适合不等式 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$ 都使得该幂级数绝对收敛；反之，若级数 $\sum a_n{x}^n$ 当 $x=x_0$ 时发散，则适合不等式 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$ 都使得该幂级数发散。

注意，阿贝尔定理未给出 $x=-x_0$ 时的敛散性，而且最后算收敛域时的两个端点要单独判定。当已知一个幂级数在某点处收敛时，就可以得到一个收敛范围。

对于缺项的幂级数，如 $\sum a_n{x}^{2n-1}$ ，一般把幂级数的一般项看成常数项级数 $u_n=a_n{x}^{2n-1}$ ，然后根据比值判别法 $|u_{n+1}/u_n|<1$ 计算出收敛半径。

幂级数 $\sum a_n{x}^n$ 的收敛半径 $R$ 的计算方法为： lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ , o r   lim ⁡ n → ∞ ∣ a n ∣ n = ρ \lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\rho,or\space \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho n→∞lim​ ​an​an+1​​ ​=ρ,or n→∞lim​n∣an​∣ ​=ρ $$R=\{\begin{array}{ll}1/\rho & ,\rho \ne 0,+\infty \\ +\infty & ,\rho =0\\ 0& ,\rho =+\infty \end{array}$$ 区间 $(-R,R)$ 称为幂级数的收敛区间，一定是开区间，而收敛域有可能有闭有开。

空间解析几何

1. 平面

平面的一般式方程：$Ax+By+Cz=D$ ，其中 $n=\{A,B,C\}$ 为法向量。点法式为平面上找一点，截距式为三轴交点，三点式为找三点，用叉乘求出法向量。

2. 空间直线

一般式方程是两个平面交线，对称式是找一点和方向向量，还有参数式。

点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$ 到空间直线 $L:(x-x_0)/m=(y-y_0)/n=(z-z_0)/p$ 的距离公式：$$d=\frac{|s\times M_1{M}_0|}{|s|}$$ 其中，$M_0(x_0,y_0,z_0),s=(m,n,p)$ 。

点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为 $$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

球坐标变换公式

$r$ 表示几何体上一点到原点距离，从原点引一条射线看范围；$\theta$ 表示 $r$ 在 $xOy$ 平面的投影直线与 $x$ 轴正向的夹角，范围是 $[0,2\pi ]$；$\phi$ 表示和 $z$ 轴正向夹角，范围是 $[0,\pi ]$ ，想象喇叭开花。

变换公式为 $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \sin \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \phi \end{array},dxdydz=r^2\sin \phi drd\theta d\phi .$$

重积分应用

曲面面积：$$S={\iint }_{D_{xy}}\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}dxdy$$ 其中，$D_{xy}$ 是曲面在 $xOy$ 面上的投影区域。同理，利用在其他面的投影，换一个字母即可。

平面薄片的面密度为 $\rho (x,y)$ ，则 $D$ 的重心坐标为：$$\overline{x}=\frac{{\iint }_{D}x\rho (x,y)d\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)d\sigma },\overline{y}=\frac{{\iint }_{D}y\rho (x,y)d\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)d\sigma }$$ 空间物体的重心类似，换成三重积分和体密度即可。

转动惯量：设有一薄片，占有 $xOy$ 面上的闭区域 $D$ ，$\rho (x,y)$ 为面密度，则该薄片对于 $x,y$ 轴和原点的转动惯量 $I_x,I_y,I_o$ 分别为：$$I_x={\iint }_D{y}^2\rho (x,y)d\sigma ,I_y={\iint }_D{x}^2\rho (x,y)d\sigma ,I_o={\iint }_D(x^2+y^2)\rho (x,y)d\sigma$$ 类似地，空间物体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho (x,y,z)$ ，则 $$I_x={\iint }_{\Omega }(y^2+z^2)\rho dv,I_y={\iint }_{\Omega }(x^2+z^2)\rho dv,I_z={\iint }_{\Omega }(x^2+y^2)\rho dv$$

曲线积分与曲面积分

两类曲线积分之间的关系：$${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta )ds$$ 对弧长的曲线积分计算首先考虑能不能根据对称性化简，能否变换将曲线方程代入，最后再用计算法，主要是化为定积分，根据 $ds=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$ 或 $ds=\sqrt{[u^{\prime }(t){]}^2+[v^{\prime }(t){]}^2}dt$ 。

对坐标的曲线积分计算，一是根据定积分法，把 $dy$ 化为 $dx$ ，或都化为参数 $dt$ ；另一是格林公式法，注意需要满足封闭（不满足则补线）和 $P,Q$ 连续可偏导（不满足则需要划分区域把那部分不满足的挖掉，新的两条线保证方向的左手边指同一区域）的条件，计算公式为：$${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy.$$ 还有一种方法是曲线积分和路径无关，这样就可以选择特殊的路径。曲线积分与路径无关与下面几个命题等价：

1. $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $D$ 内处处成立。
2. 沿 $D$ 内任意闭曲线 $L$ 均有 ${\oint }_{L}Pdx+Qdy=0$ 。
3. $Pdx+Qdy$ 为某二元函数 $u(x,y)$ 的全微分。
4. $Pi+Qj$ 为某二元函数 $u(x,y)$ 的梯度。
5. $Pdx+Qdy=0$ 为全微分方程。

两类曲面积分之间的关系：$${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\Sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$$ 其中 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为 $\Sigma$ 的正侧法向量的方向余弦。

第一类曲面积分有和二重积分一样的性质，首先还是考虑对称性，然后看看能否代入曲面方程。之后再是把 $dS$ 转化为 $\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}dxdy$ 。

第二类曲面积分的对称性和以往的是相反的，奇函数是两倍，偶函数才是 0 。计算的第一种方法是二重积分法，如 ${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy$ ，变成 $\pm {\iint }_{D_{xy}}R(x,y,u(x,y))dxdy$ ，其中 $\Sigma$ 的正侧法向量与 $z$ 轴成锐角就取正，否则取负；另一方法是利用高斯公式，$\Sigma$ 是 $\Omega$ 的外侧曲面，且 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上连续可偏导，则 $$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_{\Omega }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$$ 和格林公式类似，如果没有围成区域，需要补或删，注意定义好哪一侧；如果有不连续可偏导的点，注意划分区域，分别计算。

零碎公式

关于 $\sec x,\csc x$ 的不定积分：$$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C,\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$$

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写在最后