[算法] 合并查找(Union Find)

Union Find算法基础

Union Find算法用于处理集合的合并和查询问题，其定义了两个用于并查集的操作：

• Find: 确定元素属于哪一个子集，判断两个元素是否属于同一子集（即，查找元素的root，当两元素root相同时判定他们属于同一个子集）
• Union: 将两个子集合并为一个子集（即通过修改元素的root或parent来合并子集）

并查集是一种树形的数据结构，其可用数组或unordered_map表示，下面这个图很清晰的展示了并、查、集。摘自 UnionFind Algorithm。

算法优化

有两种常用的方法用来降低并查集的树形结构的高度、以减少Uinon Find算法的时间复杂度，这两种方法是：

• Weighting(或称作Ranking): 使用一个数组记录每个root的size，Uinon时将size小的集合挂到size大的集合下
• Path compression: 寻找 root(i) 的过程中（即Find的过程中）将 i 自身及其各层parent元素都直接挂到root下，就不再是原数据层层parent的结构。
  
  Weighted union，是把low rank(size)的tree，merge到high rank(size)的tree。尽量使得tree不那么tall，而是更加flat。并且merge的过程也不是直接merge这两个tree，而是通过Union p和q，在这里是Union3和5。在Union的过程中，其实是Find root(5)和Find root(8)，发现不是同一个root，那么就把rank更小的set所在的root，merge到rank更大的root，在这里就是把6指向9。

Path compression，是在Find的过程中顺便做的，例如，在Find(9)过程中，顺便将9的从下到上各层parent节点都直接挂在root下，这样虽然在Find(9)时候的复杂度是O(n)，但是后面如果再Find其中某个parent节点，就都只要O(1)即可，因此均摊复杂度就是O(1)。如果不执行Find，那么就不会去执行path compression，也就是说，union的过程是不执行path compression的，union就只是把其中一个root指向另一个root即可，只有Find才会触发pat