计算机图形学笔记一：基础变换
基础变换
- 1.变换的作用
- 2.二维变换
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- 2.1缩放变换（Scale Transform）
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- 2.1.1等比例缩放
- 2.1.2不等比例缩放
- 2.2对称变换（Reflection Transform）
- 2.3错切变换（Shear Transform）
- 2.4旋转变换（Rotation Transform）
- 3.三维变换
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- 3.1缩放变换（Scale Transform）
- 3.2平移变换（Translation Transform）
- 3.3旋转变换（Scale Transform）
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- 3.3.1绕坐标轴旋转
- 3.3.2绕任意轴旋转
- 4.仿射变换
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- 4.1齐次坐标（Homogeneous Coordinates）
- 4.2平移变换（Translation Transform）
- 4.3复合变换（Inverse Transform）
1.变换的作用
对于计算机图形学从业者，掌握变换(transform)是极其重要的。掌握了transform，你就可以摆放物体(objects)、灯光(lights)和相机(cameras)的位置，变换(reshape)它们的形状，并使(animate)它们动起来。懂了transform，你就可以确保所有的计算是在同一个坐标系(the same coordinate system)中进行，而不是错误地使用坐标系。你还可以以不同的方式，把物体(objects)投影到平面上。说的这些只是transfrom的小部分作用，但足以说明transfrom在实时图形学(real-time graphics)，乃至所有图形学(any kind of computer graphics)中扮演的重要角色。
2.二维变换
2.1缩放变换（Scale Transform）
2.1.1等比例缩放
一般表示：
x ′ = s x x'=sx x′=sx
y ′ = s y y'=sy y′=sy
矩阵表示：
( x ′ y ′ ) \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} (x′y′)= ( s 0 0 s ) \begin{pmatrix} s&0\\ 0&s\\ \end{pmatrix} (s00s) ( x y ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} (xy)
仿射变换表示：
S ( S x , S y ) S(S_x,S_y) S(Sx,Sy)= ( S 0 0 0 S 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} S&0&0\\ 0&S&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} ⎝⎛S000S0001⎠⎞ ( x y ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} (xy)
2.1.2不等比例缩放
一般表示：
x ′ = s x x'=s_x x′=sx
y ′ = y y'=y y′=y
矩阵表示：
( x ′ y ′ ) \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} (x′y′)= ( S x 0 0 S y ) \begin{pmatrix} S_x&0\\ 0&S_y\\ \end{pmatrix} (Sx00Sy) ( x y ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} (xy)
仿射变换表示：
S ( S x , S y ) S(S_x,S_y) S(Sx,Sy)= ( S x 0 0 0 S y 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} S_x&0&0\\ 0&S_y&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} ⎝⎛Sx000Sy0001⎠⎞ ( x y ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} (xy)
2.2对称变换（Reflection Transform）
一般表示：
x ′ = − x x'=-x x′=−x
y ′ = y y'=y y′=y
矩阵表示
( x ′ y ′ ) \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} (x′y′)= ( − 1 0 0 1 ) \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix} (−1001) ( x y ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} (xy)
2.3错切变换（Shear Transform）
错切变换可以用于在游戏中扭曲整个场景，创建一种迷幻效果，或者也可用于扭曲模型的外观。有六个基本的错切变换矩阵
矩阵表示：
( x ′ y ′ ) \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} (x′y′)= ( S x 0 0 S y ) \begin{pmatrix} S_x&0\\ 0&S_y\\ \end{pmatrix} (Sx00Sy) ( x y ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} (xy)
2.4旋转变换（Rotation Transform）
矩阵表示：
R θ R_\theta Rθ= ( c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ) \begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta\\ sin\theta&cos\theta\\ \end{pmatrix} (cosθsinθ−sinθcosθ)
仿射变换表示：
R θ R_\theta Rθ= ( c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta&0\\ sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} ⎝⎛cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎠⎞
3.三维变换
三维变换类似二维变换，只是在二维的基础上又增加了一个z坐标，因此以下变换均直接使用仿射变换。
3.1缩放变换（Scale Transform）
仿射变换表示：
3.2平移变换（Translation Transform）
仿射变换表示：
3.3旋转变换（Scale Transform）
3.3.1绕坐标轴旋转
3维旋转有3个矩阵，分别对应绕x轴，y轴，z轴旋转。采用右手坐标系，旋转方向为绕z轴旋转(x轴转向y轴)，不难推出绕x轴旋转(y转向z)，绕y轴旋转(z转向x)，（右手螺旋定则）
x → y → z → x x→y→z→x x→y→z→x
绕x轴旋转：（x不变，y转向z）
绕y轴旋转：（y不变，z转向x）
绕z轴旋转：（z不变，x转向y）
注：任意旋转都是正交矩阵
正交矩阵性质：正交矩阵的逆=正交矩阵的转置
因此：旋转矩阵的逆矩阵=旋转矩阵的转置
旋转矩阵的逆：几何解释是，我反着转这么多，比如我逆时针转45°，转置便是顺时针转45°
3.3.2绕任意轴旋转
大致思路：将给定的任意轴给先旋转到任意的x，y，z轴上，然后问题转化为基本的旋转，然后再逆旋转回来。
罗德里格斯旋转公式：（绕轴n旋转角度α）
4.仿射变换
仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。
4.1齐次坐标（Homogeneous Coordinates）
用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法。
引入齐次坐标后，就可以用一个公式将缩放，旋转，平移变换用矩阵表示出来。
三维空间中：齐次坐标使用四个元素来表示，即(x, y, z, w)，要将齐次坐标转换为三维坐标，其关系为(x/w, y/w, z/w)，其中w表示坐标轴的远近参数，通常设为1，如果要用来表示远近感，则会设定为距离的倒数（1/距离），例如表示一个无限远的距离时，我们会将w 设定为0。
2D齐次坐标：
2Dpoint = ( x , y , 1 ) T (x,y,1)^T (x,y,1)T
2Dvector = ( x , y , 0 ) T (x,y,0)^T (x,y,0)T
齐次坐标系下：
( x y w ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ w\\ \end{pmatrix} ⎝⎛xyw⎠⎞= ( x / w y / w 1 ) \begin{pmatrix} x/w\\ y/w\\ 1\\ \end{pmatrix} ⎝⎛x/wy/w1⎠⎞
当w坐标为1或0时，以下结论成立：
- vector + vector = vector
- point – point = vector
- point + vector = point
- point + point = ??
4.2平移变换（Translation Transform）
一般表示：
x ′ = x + t x x'=x+t_x x′=x+tx
y ′ = y + t y y'=y+t_y y′=y+ty
矩阵表示：
( x ′ y ′ ) \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} (x′y′)= ( a b c d ) \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix} (acbd) ( x y ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} (xy)+ ( t x t y ) \begin{pmatrix} t_x\\ t_y\\ \end{pmatrix} (txty)
仿射变换表示：
T ( t x , t y ) T(t_x,t_y) T(tx,ty)= ( 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1 \end{pmatrix} ⎝⎛100010txty1⎠⎞ ( x y 1 ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} ⎝⎛xy1⎠⎞= ( x + t x y + t y 1 ) \begin{pmatrix} x+t_x\\ y+t_y\\ 1\\ \end{pmatrix} ⎝⎛x+txy+ty1⎠⎞
4.3复合变换（Inverse Transform）
上面的是先平移后旋转；
下面的是先旋转后平移。(设以此变换为目的)
可以看出不同的先后变换所得到的最终图形位置不一样。（矩阵不满足结合律）
R 45 ⋅ T ( 1 , 0 ) ≠ T ( 1 , 0 ) ⋅ R 45 R_{45} · T_{(1,0)}≠T_{(1,0)} · R_{45} R45⋅T(1,0)=T(1,0)⋅R45
先旋转后平移计算：（从右往左计算）
T ( 1 , 0 ) ⋅ R 45 T_{(1,0)} · R_{45} T(1,0)⋅R45 ( x y 1 ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix} ⎝⎛xy1⎠⎞= ( 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} ⎝⎛100010101⎠⎞ ( c o s 4 5 o − s i n 4 5 o 0 s i n 4 5 o c o s 4 5 o 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} cos45^o &-sin45^o&0\\ sin45^o &cos45^o&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} ⎝⎛cos45osin45o0−sin45ocos45o0001⎠⎞ ( x y 1 ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix} ⎝⎛xy1⎠⎞