NEFU离散数学实验PBL
1.青蛙的约会
Description
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。Input
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。Output
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"Sample Input
1 2 3 4 5Sample Output
4
测试数据模拟
#include
using namespace std;
#define LL long long
/*
x:青蛙a的起点
y:青蛙b的起点
m:青蛙a一次能跳多远
n:青蛙b一次能跳多远
L:一圈的距离
*/
LL x, y, m, n, l;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){//扩展欧几里得算法
if(b==0){
x=1,y=0;
return a;
}
LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main()
{
while(cin >> x >> y >> m >> n >> l){
LL t = ((y - x) % l + l) % l; // 计算 t 的值，保证 t 为正数
LL a = ((m - n) % l + l) % l; // 计算 a 的值，保证 a 为正数
LL b = l;
LL d = exgcd(a, b, x, y); // 调用 exgcd 函数，求解 a 和 b 的最大公约数，同时更新 x 和 y 的值
if(t % d) cout << "Impossible" << endl; // 如果 t 不能整除 d，即永远也碰不到，输出 "Impossible"
else{
x = ((x * t / d) % (b / d) + b / d) % (b / d);
/*
计算青蛙a在t时间内从起点x跳到终点y所需的最小步数
% (b / d)：取模运算，用于确保跳跃距离不超过一圈的距离b。因为每圈的距离为b，所
以需要将跳跃距离限制在b以内。
+ b / d：加上一圈的距离的一半，以确保跳跃距离始终在起点和终点之间。
% (b / d)：再次取模运算，确保最终的跳跃距离仍然在一圈的距离b以内。
*/
cout << x << endl;
}
}
return 0;
}
2.五指山
Description
西游记中孙吾空大闹天宫，如来佛祖前来降伏他，说道：“我与你打个赌赛；你若有本事，一筋斗打出我这右手掌中，算你赢，再不用动刀兵苦争战，就请玉帝到西方居住，把天宫让你；若不能打出手掌，你还下界为妖，再修几劫，却来争吵。” 那大圣闻言，暗笑道：“这如来十分好呆！我老孙一筋斗去十万八千里。他那手掌，方圆不满一尺，如何跳不出去？”急发声道：“既如此说，你可做得主张？”佛祖道：“做得！做得！”伸开右手，却似个荷叶大小。那大圣收了如意棒，抖擞神威，将身一纵，站在佛祖手心里，却道声：“我出去也！”你看他一路云光，无影无形去了。大圣行时，忽见有五根肉红柱子，撑着一股青气。他道：“此间乃尽头路了。这番回去，如来作证，灵霄殿定是我坐也。”翻转筋斗云，径回本处，站在如来掌：“我已去，今来了。你教玉帝让天宫与我。” 如来骂道：“你正好不曾离了我掌哩！”大圣道：“你是不知。我去到天尽头，见五根肉红柱，撑着一股青气，我留个记在那里，你敢和我同去看么？”如来道：“不消去，你只自低头看看。”那大圣睁圆火眼金睛，低头看时，原来佛祖右手中指写着“齐天大圣，到此一游。”大圣大吃了一惊道：“有这等事！有这等事！我将此字写在撑天柱子上，如何却在他手指上？莫非有个未卜先知的法术？我决不信！不信！等我再去来！” 好大圣，急纵身又要跳出，被佛祖翻掌一扑，把这猴王推出西天门外，将五指化作金、木、水、火、土五座联山，唤名“五行山”，轻轻的把他压住。 我们假设佛祖的手掌是一个圆圈（所以任凭大圣一个筋斗云十万八千里也是飞不出其手掌心），圆圈的长为n，逆时针记为：0，1，2，…,n-1，而大圣每次飞的距离为d.现在大圣所在的位置记为x,而大圣想去的地方在y。现在要你告诉大圣至少要多少筋斗云才能到达目的地。Input
有多组测试数据。 第一行是一个正整数T，表示测试数据的组数。 每组测试数据包括一行，四个非负整数，n（2 < n < 10^9），表示如来手掌圆圈的长度；d(0 < d < n),筋斗所能飞的距离；x(0 <= x < n),大圣的初始位置；y(0 <= y < n)，大圣想去的地方。 注意孙悟空的筋斗云只沿着逆时针方向翻。Output
对于每组测试数据，输出一行，给出大圣最少要翻多少个筋斗云才能到达目的地。如果无论翻多少个筋斗云也不能到达，输出“Impossible”.Sample Input
2 3 2 0 2 3 2 0 1Sample Output
1 2
测试数据模拟
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
/*
x:大圣的初始位置
y:大圣的目的地·
n:如来手掌圆圈的长度
d:筋斗所能飞的距离
*/
LL n,d,x,y,q,p;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){//扩展欧几里得算法
if(b==0){
x=1,y=0;
return a;
}
LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
cin>>n>>d>>x>>y;
LL t = ((y-x)%n+n)%n;// 计算 t 的值，保证 t 为正数
int gcd = exgcd(n,d,q,p);
if((t)%gcd){
cout << "Impossible" << endl;
}else{
p*=t/gcd;
n/=gcd;
cout<<(p%n+n)%n< 3.Fight 2018
Description
由于今年是2018年，所以BD对2018这个数字深有研究，最近又开始研究2018的因子，她想知道2018的因子和是多少，可是她觉得这个问题太简单了，没有什么挑战性，她想让你求2018^n 的因子和是多少，可是由于结果太大了，所以要求对499取模。Input
输入数据包含多个测试实例，每个测试实例的输入只包含一个正整数n（1<=n<=1e20）。输入0的时候结束。Output
对应于每一个输入，请输出对应的答案。Sample Input
1 0Sample Output
36
计算2018^n 的因子和，首先要知道2018的质因数分解，即2018=2*1009。根据因子和的公式1，如果一个数n可以写成
}的形式，其中
是不同的质数，
是正整数，那么n的因子和是：
所以，
的因子和是：
这个结果可能非常大，所以题目要求对499取模。这里可以用中国剩余定理2，即如果两个数m和n互质，那么对于任意的a和b，方程组
有唯一解x，且
因为2018和499互质，所以我们可以先分别计算2018^n 对499取模的结果，记为a，以及2018的因子和对499取模的结果，记为b，然后用中国剩余定理求解x，即2018^n 的因子和对499取模的结果。
举例
计算2018^n 对499取模的结果，可以用快速幂算法3，即将n转换为二进制，然后从低位到高位依次计算2018的幂次，每次对499取模，最后累乘得到结果。例如，如果n=5，那么n的二进制是101，所以
2018^5 mod 499
= (2018^1 mod 499) * (2018^4 mod 499)
= (2018 mod 499) * ((2018^2 mod 499)^2 mod 499)
= (202 mod 499) * (((202^2 mod 499)^2 mod 499)
= (202 mod 499) * ((408^2 mod 499) mod 499)
= (202 mod 499) * (64 mod 499)
= 12928 mod 499
= 433
#include
using namespace std;
// 定义模数常量
const int MOD = 499;
// 快速幂函数，计算 a^b % mod 的值
long long pow_q(int a, __int128 b, int mod) {
long long m = 1;
while (b > 0) {
if (b % 2 == 1) {
m = (m * a) % mod; // 如果b的二进制最低位为1，计算m乘以a再对mod取模
}
a = (a * a) % mod; // a自乘一次再对mod取模
b /= 2; // b右移一位，相当于除以2
}
return m; // 返回计算结果
}
// 快读
inline __int128 read() {
__int128 x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
if (ch == '-')
f = -1;
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = x * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return x * f;
}
//快写
inline void print(__int128 x) {
if (x < 0) {
putchar('-');
x = -x;
}
if (x > 9)
print(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int main() {
__int128 n;
while (n = read()) {
if (n == 0) return 0;
// 计算数列的和
long long sum = (pow_q(2, n + 1, MOD) - 1) * pow_q(2 - 1, MOD - 2, MOD) % MOD; // 计算第一个乘积
sum = (sum * (pow_q(1009, n + 1, MOD) - 1) * pow_q(1009 - 1, MOD - 2, MOD)) % MOD; // 计算第二个乘积
cout << sum << endl;
}
return 0;
}