哥德尔不完全性定理

一阶语言，存在量词可以由全称量词表示，其他连接符可以用和表示。

公理：

，其中关于在中自由。

，其中在中无自由出现。

，其中是元函数。

，其中是元关系。

如果是一个有等词的一阶理论，是的一个模型，则可以商掉等价关系得到一个和初等等价的正规模型。

皮亚诺算术：，并添加如下公理

，其中是一个合取范式，和为把中所有的自由出现都替换成和的合取范式。

令为的缩写。则，，。

哥德尔不完全性定理：存在闭的合取范式，且。

，称为的标准模型。任意合取范式，如果任意都有，则。否则在标准模型里会出现矛盾。这称为一致性。

哥德尔数：给合取范式和合取范式组成的序列编号。

，，，，，，，，，，。

合取范式：

合取范式序列；

可表达性：一个元关系称为可表达的，如果存在恰包含个自由变元的合取范式，满足：当为真时，；否则。

一个元函数称为可表达的，如果存在个变元的合取范式，满足：

任意，都有，且

证明思路：考虑如下二元关系：为真当且仅当是某个恰以为自由变元的合取范式的哥德尔数，且编码一个合取范式序列，它是的一个证明。

先证明是可表达的，假设表达它。考虑这个合取范式，设它的哥德尔数是。现在考虑合取范式。

若，则任意非负整数有：，因此把带入到它自己里不可被证明。但是对应的合取范式是，从而不可被证明，矛盾。

若，由于满足一致性，存在一个非负整数使得。因此可证，矛盾。

所以和它的否定都不能被证明。

递归函数：由几类基本函数和它们有限步操作可以构造出的函数。

零函数：。任意，

恒等函数：

后继函数：，

投影函数：，

由已有递归函数构造新的递归函数的方法：

复合：若，都是递归函数，则也是递归函数。

递归：若，都是递归函数，则归纳定义的函数，，也是递归函数。

最小数：若是递归函数，且对任意，都存在使得。则，其中为满足的最小非负整数，也是递归函数。

定理：递归函数都是可表达的。

定理：递归函数都是可表达的。

复合：假设合取范式

表达

，

表达

。令

当

时，容易写出

的证明：

用

表示内层括号的式子。

再使用MP，得到

，即

。

只需再证：

等价于：

即：

由于已知

令

容易证明：

再由推导定理得到：

最小数：

假设递归函数

满足对于任意

都存在

使得

，并设

表达

。

则

表达

。

如果

：

则

，且

如果

。

由于

所以只需证：

而

再由任意

有：

可得。

最后要证：

由于：

且

递归：

令