回溯法求解硬币找零问题的Python实现与个人理解

我寻思着，不能只会暴力求解和动态规划吧，所以看了一下回溯法。

本文以找零问题为例，首先使用python进行实现，然后想讲讲个人对于这个算法的想法。

 1 代码

def backtracking_exchange(amount, denominations):
    """
    >>> backtracking_exchange(56, [20, 10, 5, 1])
    [2, 1, 1, 1]
    >>> backtracking_exchange(12, [9, 6, 5, 1])
    [0, 2, 0, 0]
    """
    def is_equal_amount(part):
        # part表示值大小
        return True if sum(part) == amount else False

    def options(max_coin, part):
        # 获取可选集合
        res = []
        for coin in denominations:
            if coin <= max_coin and sum(part+[coin]) <= amount:  # 减少遍历的条件，1是选择小于等于前一个硬币的大小，2是选择后总大小小于等于目标值
                res += [coin]
        return res

    def solutions(max_coin, part=[]):
        if is_equal_amount(part):
            return [part]  # 如果等于了就返回part
        else:
            res = [] # 结果集合
            for o in options(max_coin, part):
                res += solutions(o, part + [o])
            return res  # 如果不符合，返回的是[], 不会影响总体，可以理解为回溯。

    res = sorted(solutions(denominations[0]), key=lambda x: len(x))[0]  # 获取结果
    # 以下简单加工成目标结果所需结构
    buff_dic = {coin: 0 for coin in denominations}
    for coin in res:
        buff_dic[coin] += 1  # 计数
    return [buff_dic[coin] for coin in denominations]


if __name__=='__main__':
    import doctest  # 测试模块
    doctest.testmod(verbose=True)

2 个人想法

    因为看到了八皇后问题（8-Queen Puzzle）而学习了回溯法，看了一些同学的讲解，说这个算法有dfs的思想，可以用迭代求解。大多是宏观上的讲解，讲真，看完一圈我没看懂具体应用是个啥玩意，不知道怎么从特殊到一般。所以想在这讲讲自己的看法，也算是对大家的补充。

    首先，从解题核心思想上看，回溯法解法使用了dfs的思想，并且加入了剪枝技术（一开始以为好高大上，后来才明白就是提前结束的深度检索的过程）。通过迭代的方法可以很好的进行dfs遍历，一条路走到黑。走不下去的路，以例题为例，就是当前获取的金额大于目标金额amount，我就不走了，减少了遍历的路径。然后通过return []达到回溯的目的。

   其次，从分解问题的角度上看，回溯法解题，总共可以分两不分。第一部分是迭代部分，包括选取迭代终止标志：is_equal_amount(part)，以及迭代的最小子集：res += solutions(o, part + [o])。第二部分，下一步的所有选项集合，即候选集，通过函数solutions(max_coin, part=[])实现，这一步就好比八皇后问题中放了一个皇后之后，获取下一步有哪些可选步骤。

    本题可以通过两种方式获取硬币情况，第一个就是上面写的方法，直接将面值记录，最后再计算个数，第二种我没有写，可以直接使用等长列表[0,0,0,0]来表示其各个硬币的选取情况。

  回溯的精髓只有动手做了才清楚，也是清楚的那一瞬间让我很舒爽。奥利给，冲。