【数学】函数极限计算

1.定义

对于任意的$ϵ>0$，存在$\delta >0$，当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-A|<ϵ$
称A为$f(x)$当$x\to a$时的极限，记为$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$$

自己的理解：也就是说，对于任意的一个$ϵ$，总能找到一个邻域更接近A（距离小于$ϵ$），由此精确刻画极限逼近。

关于定义的易错点与理解

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=A，x趋向但不能等于0$$
$$一个函数要在x_0点有极限，在x_0可以无定义，但在x_0的去心领域要有定义$$

2.定理与性质

①唯一性
②局部有界性
③局部保号性
④运算规则
⑤夹逼准则
⑥洛必达法则
⑦泰勒公式
保号性是指极限的保号性属于极限一种性质，函数极限都是在邻域里面定义的，所以对应所得函数性态也是在邻域里。数列极限是当n大于N时也就是N以后的项具有保号性。

3.做题技巧、题型

需熟记 泰勒展开表、等价替换 传送门（点我）

3.1两个游戏规则

①泰勒展开时注意精确度，等价替换时需是因子（与其余整体构成乘除关系）才可替换（其本质还是精确度）。
②局部代入的条件：非零因子（与其余整体构成乘除关系）

3.2添项减项，凑出需要的结构

通过（AB-1）制造出 (A-1)和 （B-1）
$$AB-1=AB-B+B-1=B(A-1)+(B-1)$$

3.3逆用等价无穷小

当$x\to 0$时，$x$~$ln(1+x)$
当$x\to 1$时，$x-1$~$lnx$
这种方法一般是先逆用一次，把极限拆开后，再顺用一次，特别适合和用于含有"$A_1{A}_2{A}_3...A_n-1$"的结构式子

有了这个技巧，可秒杀上面两题
把 $\sqrt[m]{(1+\alpha x)}\cdot \sqrt[n]{(1+\beta x)}$ 看做一个整体x，则这个整体趋向于1

3.4见到幂指函数，取指对数

幂指函数是指形如：$x^x$
取指对数是指：$a^b=e^{ln{a}^b}=e^{blna}$
由于当$x\to 1,$$lnx=ln((x-1)+1)$~$x-1$
所以可得
$$对于1^{\infty }类型的重要极限：v(x{)}^{u(x)}=e^{lnv(x{)}^{u(x)}}=e^{u(x)lnv(x)}$$
又因为当$x\to 1,$$lnx=ln((x-1)+1)$~$x-1$
所以得
$$对于1^{\infty }类型的重要极限可一步到位：v(x{)}^{u(x)}=e^{u(x)(v(x)-1)}$$

3.5幂指函数，几种特殊的处理方式

• 巧用无穷小吸收律，打败纸老虎（看起来很复杂，实则很简单）
  
• 几种特殊的形式
  当出现这几种幂指函数时
  $$a^b-c^d（较难算）$$
  $$a^b-a^c=a^c(a^{b-c}-1)$$
  $$a^c-b^c=b^c[(\frac{a}{c}{)}^c-1]$$

有了这些技巧，可尝试此题
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(3+2tanx{)}^x-3^x}{3si{n}^{2}x+x^{3}cos\frac{1}{x}}$$
ps：此题用到的技巧 无穷小吸收律+逆用等价无穷小+正用等价无穷小

大学生数学竞赛中填空题最后一题
$$设f(x)、g(x)在x=0的领域U内有定义，且对\forall x\in U,均有f(x)\ne g(x)，且\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=a>0,$$
$$则\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[f(x){]}^{g(x)}-[g(x){]}^{g(x)}}{f(x)-g(x)}=？$$

3.6等价无穷大

首先需熟记 泰勒展开表、等价替换 传送门（点我）
同时需记住这个结论：对数函数增长慢，可用洛必达法则检验，不过为了速度，最好记住结论
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{lnx}{x}=0，对数函数增长慢，对数函数是垃圾$$
$$而考试通常喜欢变形，\underset{g(x)\to +\infty }{\lim }\frac{lng(x)}{g(x)}=0$$
另外还要知道这个结论
$$若\alpha ～\beta \to 0^{+}，则ln\alpha ～ln\beta \to -\infty$$

结论简单证明
$$\lim \frac{ln\alpha }{ln\beta }-1=\frac{ln\frac{\alpha }{\beta }}{ln\beta }=0所以可得lim\frac{ln\alpha }{ln\beta }=1$$

此结论来自于 李正元老师的复习全书

巧用等价无穷大，可尝试下题

$$题目：\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(e^x-1-x{)}^{\frac{1}{lnx}}$$
解的过程如下

$$取指对数：原式=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{lnx}ln(e^x-1-x)}$$
$$又\because 若\alpha ～\beta \to 0^{+}，则有ln\alpha ～ln\beta \to -\infty$$
$$\therefore 由等价无穷大ln(e^x-1-x)～ln\frac{1}{2}{x}^2替换得，原式=e^{{\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{ln\frac{x^2}{2}}{lnx}}$$
$$\therefore 原式=e^{{\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{2lnx-ln2}{lnx}}=e^2$$
还可以尝试此题
$$题目：\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{ln(arctanx)}{ln[ln(1+x)]}$$
解的过程如下，这题利用等价无穷大可直接秒杀
$$\because 若\alpha ～\beta \to 0^{+}，则有ln\alpha ～ln\beta \to -\infty$$
$$\therefore 原式=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{lnx}{lnx}=1$$
真题尝试
$$题目：\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^{\frac{1}{x}}-1{)}^{\frac{1}{lnx}}$$

3.7当等价无穷小精度不够，使用泰勒展开

$$对于无穷小而言，lim\frac{高阶}{低阶}=0$$
故只需将分子展开到“余项均为分母的高阶无穷小”即可
两个函数相乘的泰勒展开，其中一个函数需要展开的最高阶数，取决于另一个函数展开后的最低阶数，二者相互影响，这其实是小学的乘法分配律的原理。
$$题目：\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)ln(1-x)-ln(1-x^2)}{x^4}$$

泰勒中值定理的应用
$$题目：设f(x)在x_0处二阶可导，求\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+2h)-2f(x_0+h)+f(x_0)}{h^2}$$

$$f(x)在x_0处n阶可导，f(x)的n阶导数在x_0领域内不一定可导$$
$$但是f(x)的n-1阶导数在x_0的邻域内一定存在，由导数定义得来$$

3.8无分母的泰勒展开

展开导最低次的系数合并后不为0时为止，说白了，就是展开导不能再抵消为止，此时，暴露出来的第一项，就是整个函数的等价无穷小。

$$题目：请寻找x\to 0时，e^x+cosx-2-x的等价无穷小$$
$$解题过程：e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$
$$cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$$
$$e^x+cosx-2-x=\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$
$$\therefore e^x+cosx-2-x～\frac{x^3}{6}$$