二叉树(Binary Tree)是另一种树型结构。
二叉树的特点:
1)每个结点至多只有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点);
2)二叉树的子树有左右之分,其次序不能任意颠倒。
二叉树的递归定义
二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集。它或者是空集(n=0),或者同时满足以下两个条件:
(1) 有且仅有一个根结点;
(2) 其余的结点分成两棵互不相交的左子树和右子树。
二叉树的抽象数据类型 ADT BinaryTree { D、R、P }
二叉树与树有区别:树的子树没有顺序,但如果二叉树的根结点只有一棵子树,必须明确区分它是左子树还是右子树,因为两者将构成不同形态的二叉树。因此,二叉树不是树的特例。它们是两种不同的数据结构。
二叉树有5种基本形态:
性质1:若二叉树的层次从1开始, 则在二叉树的第 i 层最多有 2i-1 个结点。(i 1)
性质2:深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k>0)。
性质3:对于任何一棵二叉树,若度2的结点数有n2个,叶子结点数为n0,则n0=n2+1。
特例:
1)满二叉树:深度为k且有 2k-1个结点的二叉树。
特点:每一层上的结点数都是最大结点数。满二叉树不存在度数为1的节点,且树叶都在最下一层。可以对满二叉树的结点进行连续编号。
2)完全二叉树:深度为k,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n 的结点一一对应时,称之为完全二叉树。
特点:
(1)叶子结点只可能在层次最大的两层上出现;
(2)对任一结点,若其右分支下的子孙的最大层次为h,则其左分支下的子孙的最大层次数必为h或h+1。
对于特殊性质的二叉树,还具备以下2个性质:
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为log2n+1。
性质5:如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为log2n+1)的结点按层序编号,则对任一结点i(1≤i≤n),有:
1)如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲parent(i)是结点i/2 ;
2)如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其 左孩子lchild(i)是结点2i;
3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子rchild(i) 是结点2i+1。
二叉树的顺序存储,是采用一组连续的存储单元来存放二叉树中的结点,但是,由于二叉树是非线性结构,所以结点之间的逻辑关系难以从存储的先后确定。不过,由二叉树的性质5可知,对于完全二叉树,如果按照从上(根结点)到下(叶结点)和从左到右的顺序,对二叉树中的所有结点从0到n-1编号,这样存放到一维数组中。只要通过数组元素的下标关系,就可以确定二叉树中结点之间的逻辑关系。
#define MAXSIZE 100
typedef int ElemType;
typedef struct wqbtree
{
ElemType SequenBiTree[MAXSIZE];
int n; /*记录节点总数*/
}Fbitree;
对于一般的二叉树,如果仍采用顺序表示,首先要对它进行扩充,增加一些并不存在的空结点,使之成为一棵完全二叉树,然后再用一维数组顺序存储。
缺点:浪费存储空间。
完全二叉树用顺序存储结构,一般二叉树用链式存储结构。
由于二叉树每个结点至多只有2个孩子,分别为左孩子和右孩子。因此可以把每个结点分成三个域:一个域存放结点本身的信息,另外两个是指针域,分别存放指向左、右孩子的指针。每个结点的结构表示为:
typedef int ElemType;
typedef struct BiTreeNode
{ ElemType data;
struct BiTreeNode *lchild, *rchild;
}BiTreeNode, *BiTree;
一个二叉链表由根指针root唯一确定。若二叉树为空,则root=NULL;若结点的某个孩子不存在,则相应的指针为空。
具有n个结点的二叉链表中,共有2n个指针域。其中只有n-1个用来指示结点的左、右孩子,其余的n+1个指针域为空。
若一个二叉树含有n个结点,则它的二叉链表中必含有2n个指针域, 其中必有n+1个空的链域。
为了便于找到结点的双亲,可以在结点结构中增加一个指向其双亲结点的指针域,此时二叉链表变为三叉链表。 三叉链表的结点结构
typedef int ElemType;
typedef struct ThrTreeNode{
ElemType data;
struct ThrTreeNode *lchild, *rchild,*parent;
}ThrTreeNode, *ThrTree;