一维随机游走
一维的随机游走可定义如下：
每过一个单位时间，游走者从数轴 x x x 位置出发以固定概率随机向左或向右移动一个单位. 不妨将 n n n 时刻游走者的位置记为 L n L_n Ln，则有
L n = x + X 1 + . . . + X n L_n = x + X_1 + ... + X_n Ln=x+X1+...+Xn
其中 X 1 , X 2 , . . . X n X_1, X_2, ... X_n X1,X2,...Xn 为互相独立的随机变量，满足
P ( X i = 1 ) = p = 1 − P ( X i = − 1 ) P(X_i = 1) = p = 1 - P(X_i = -1) P(Xi=1)=p=1−P(Xi=−1)
最经典的一维随机游走问题有赌徒输光问题和酒鬼失足问题
- 赌徒在赌场赌博，赢的概率是 p p p，输的概率 1 − p 1 - p 1−p，每次的赌注为 1 元，假设赌徒最开始时有赌金 n n n 元，赢了赌金加1元，输了赌金减1元. 问赌徒输光的概率是多少？
- 一个醉鬼行走在一头是悬崖的道路上，酒鬼从距离悬崖仅一步之遥的位置出发，向前一步或向后退一步的概率皆为 1 2 \frac{1}{2} 21，问酒鬼失足掉入悬崖的概率是多少？
一维有边界的随机游走问题
下面先对一维双边界随机游走问题进行求解：
设初始位置为 x = n x = n x=n ，边界为 x = 0 x = 0 x=0 和 x = w x=w x=w ，其中 0 ≤ n ≤ w 0 ≤ n ≤ w 0≤n≤w ， n n n、 w w w 为整数. 游走者每个单位时间移动一次，向左、向右移动的概率都为 1 2 \frac{1}{2} 21 ，达到边界后停止移动.
若用 S n S_n Sn 表示初始位置为 x = n x = n x=n 时最终落入边界 x = 0 x = 0 x=0 的概率. 显然我们会有 S 0 = 1 S_0 = 1 S0=1 ，和 S w = 0 S_w = 0 Sw=0 ，即初始位置为边界的情况.
若 0 < n < w 0 < n < w 0<n<w ，则考虑其下一次移动. 有 1 2 \frac{1}{2} 21 的概率向左到达 n − 1 n - 1 n−1 ，有 1 2 \frac{1}{2} 21 的概率向右到达 n + 1 n +1 n+1.
则由全概率公式可得，(当前位置可以由前后两个位置走到)
S n = 1 2 S n − 1 + 1 2 S n + 1 S_n = \frac{1}{2}S_{n-1} + \frac{1}{2}S_{n+1} Sn=21Sn−1+21Sn+1
整理得到
S n + 1 = 2 S n − S n − 1 S_{n + 1} = 2S_n - S_{n - 1} Sn+1=2Sn−Sn−1
利用
S n + 1 − S n = S n − S n − 1 S_{n + 1} - S_n = S_n - S_{n - 1} Sn+1−Sn=Sn−Sn−1
递推可得，其中 k 是一个常数
S n − S n − 1 = . . . = S 1 − S 0 = k S_n - S{n - 1} = ... = S_1 - S_0 = k Sn−Sn−1=...=S1−S0=k
累加可得，
S n = k n + S 0 S_n = kn + S_0 Sn=kn+S0
由 S 0 = 1 , S w = 0 S_0 = 1, S_w = 0 S0=1,Sw=0,
可得
S n = 1 − 1 w n = w − n w S_n = 1 - \frac{1}{w}n = \frac{w-n}{w} Sn=1−w1n=ww−n
同理用 T n T_n Tn 表示初始位置为 x = n x = n x=n 时最终落入边界 x = w x = w x=w 的概率，
可得 T n = n w T_n = \frac{n}{w} Tn=wn
S n S_n Sn 表示初始位置为 x = n x = n x=n 时最终落入边界 x = 0 x = 0 x=0 的概率
T n T_n Tn 表示初始位置为 x = n x = n x=n 时最终落入边界 x = w x = w x=w 的概率
S n + T n = 1 S_n + T_n = 1 Sn+Tn=1，时间无限，最终位置都会落在两个边界而停止，所以两者的概率和为 1
x = 0 x = 0 x=0 和 x = w x = w x=w 都为边界
对于单边界情况（w = ∞），可以令 w → + ∞ w\to +\infty w→+∞ 得到. 即得到 S n = 1 , T n = 0 S_n = 1, T_n = 0 Sn=1,Tn=0
参考资料：橘子数学