数据结构——图
数据结构—图
图的定义与基本术语
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图：G=(V, E)
V: 顶点(数据元素)的有穷非空集合
E: 边的有穷集合
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有向图和无向图：前者边有方向，后者边无方向
- 完全图：任意两个点都有一条边相连
- 无向完全图：一张图中每条边都是无方向的；在无向完全图中；在无向完全图中：n个顶点，有n(n-1)/2条边
- 有向完全图：图中各边都有方向，且每两个顶点之间都有两条方向相反的边连接的图；在有向完全图中：n个顶点，有**n(n-1)**条边
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稀疏图：有很少的边或弧的图 （e < nlogn）
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稠密图：有较多边或弧
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网：边/弧带权的图
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邻接：有边/弧相连的两个顶点之间的关系 ()无向图，无先后关系；<>有向图，有先后关系
- 存在(Vi，Vj)，则称Vi和Vj互为邻接点
- 存在
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关联(依附)：边/弧与顶点之间的关系。
- 存在(Vi，Vj)/
- 存在(Vi，Vj)/
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顶点的度：与该顶点相关联的边的数目，记为TD(v)
- 在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和
- 入度：以当前顶点为终点的有向边的条数,记作ID(v)
- 出度：以当前顶点为始点的有向边的条数，记作OD(v)
- 在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和
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当有向图中仅有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1(出度任意)，则该图为树形，称为有向树
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路径：接续的边构成的顶点序列
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路径长度：路径上边或弧的数目/权值之和 (有权值按权值算)
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回路(环)：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径
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简单路径：除路径起点和终点可以相同外，其余顶点均不相同的路径
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简单回路(简单环)：除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径
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连通图(强连通图)：在无(有)向图G = (V, {E})中，若对任意两个顶点v, u都存在从v到u的路径，则称G是连通图(强连通图)。无向图称为连通图，有向图称为强连通图
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权与网
- 权：图中边或弧具有的相关树称为权，表明从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费
- 网：带权的图称为网
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子图
设有两个图G = (V, {E}), G1 = (V1, {E1}), 若V1∈V，E1∈E，则称G1是G的子图 (即顶点和边都是图的子集)
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连通分量 (强连通分量)
- 连通分量：无向图G的极大连通子图称为G的连通分量
- 极大连通子图：该子图是G的连通子图D，将G中任何一个不在D中的顶点加入，子图不再连通的，则该子图称为极大连通子图
- 强连通分量：有向图G的极大连通子图称为G的强连通分量
- 极大连通子图：该子图是G的连通子图D，将G中任何一个不在D中的顶点加入，子图不再连通的，则该子图称为极大连通子图
- 连通分量：无向图G的极大连通子图称为G的连通分量
单顶点就是强连通分量
- 极小连通子图：该子图是G的连通子图，在该子图中删除任何一条边，该子图不再连通
- 生成树：包含无向图G所有顶点的极小连通子图
- 生成森林：对非连通图，由各个连通分量的生成树的集合
小世界理论
你和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过五个，也就是说，最多通过五个人你就能够认识任何一个陌生人。”根据这个理论，你和世界上的任何一个人之间只隔着五个人，不管对方在哪个国家，属哪类人种，是哪种肤色。
将小世界理论的人际关系网络抽象成一个无向图G，用图G中的一个顶点表示一个人，两个人认识与否用代表这两个人的顶点之间是否有一条边来表示。从任一顶点出发用广度优先对图进行遍历，统计所有长度不超过7的顶点
图的存储结构
图的逻辑结构：多对多
邻接矩阵：借助二维数组来表示图的元素间的关系
链式存储结构：由于图中顶点多对多的特性，很难确定需要多少个指针域，因此有如下几个常用的链式存储方式：邻接表，邻接多重表，十字链表
1.邻接矩阵
1.1无向图的邻接矩阵
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建立一个顶点表(记录各个顶点信息) 和一个邻接矩阵表(表示各个顶点之间的关系)
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设图 A = (V, E)有 n 个顶点，则顶点表表示为：
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图的邻接矩阵表是一个二维数组 A.arcs[n][n], 定义为
如果存在一条边 属于A中的边，则存在该边，记为1 (自身与自身无边)
eg：
PS: “邻接”，相邻且相接
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1.特点：无向图的邻接矩阵是对称矩阵，且对角线上元素为0，因为当有一个顶点到另一个顶点存在边时，另一个顶点到该顶点也一定存在一条边
2.统计某一个顶点的度是多少只需遍历该顶点对应的数组，计算1的次数即可，即顶点 i 的度 = 第i行(列)中 1 的个数
3.特别的：无向完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余均为1
1.2有向图的邻接矩阵
有向图存在方向，因此只有当存在当前顶点发出的弧时，才记为1 (和无向图的邻接矩阵一样，自身与自身无弧)
在有向图的邻接矩阵中：
- 第 i 行：表示以结点Vi为尾的弧(即出度边)
- 第 i 列：表示以结点Vi为头的弧(即入度边)
1.有向图的邻接矩阵的特点：对角线元素为0，但不一定是对称矩阵
2.对有向图的邻接矩阵而言：
- 顶点 i 的出度 = 第 i 行的元素之和
- 顶点 i 的入度 = 第 i 列的元素之和
- 顶点 i 的度 = 第 i 行元素之和 + 第 i 列元素之和
3.特别的：有向完全图的对角线元素全0，取余元素全1
1.3网的邻接矩阵
网即有权图
网的邻接矩阵定义为：
如果存在边 / 弧属于VR图，则邻接矩阵记录该条边的权值Wij；否则记录INF
1.3.1有向网的邻接矩阵
1.4 无向网的存储结构
两个数组 ：顶点表和邻接矩阵
//最大顶点数
#define MAX_VEX_NUM 100
//假的无穷大，填补邻接矩阵中没有邻接关系的点
#define MAX_INT 2147483647
typedef struct Graph
{
//顶点表
顶点数据类型 vexs[MAX_VEX_NUM];
//邻接矩阵表
边的类型 arcs[MAX_VEX_NUM][MAX_VEN_NUM];
//顶点数和边数
int vexNum, arcNum;
}AMGraph;
1.4.1采用邻接矩阵创建无向网
- 输入总顶点数和总边数
- 依次输入顶点的信息存入顶点表
- 初始化邻接矩阵，因为是在网当中，所以使每个权值初始化为最大值
- 构造邻接矩阵
1.4.1.1实现
构造
void creatGraph(AMGraph* graph)
{
printf("请输入顶点数和边数：");
//1.顶点数和边数
scanf("%d %d", &(graph->vexNum), &(graph->arcNum));
setbuf(stdin, NULL);
putchar('\n');
//顶点数据
for (int i = 0; i < graph->vexNum; i++)
{
printf("请输入第%d个顶点数据：", i + 1);
scanf("%c", &(graph->vexs[i]));
setbuf(stdin, NULL);
putchar('\n');
}
//3.初始化边, n个顶点就有
for (int i = 0; i < graph->vexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < graph->vexNum; j++)
{
if(i!=j)
graph->arcs[i][j] = MAX_INT;
else
graph->arcs[i][j] = 0;
}
}
//4.构造邻接矩阵
for (int i = 0; i < graph->arcNum; i++)
{
char v1, v2;
int weight;
printf("请输入第%d条边依附的顶点及权值：", i+1);
scanf("%c %c %d", &v1, &v2, &weight);
setbuf(stdin, NULL);
putchar('\n');
//找到边依附的两个顶点，记录下标，就是在邻接矩阵中的位置
int i = findVex(graph, v1);
int j = findVex(graph, v2);
//如果没查找到顶点或该顶点已经有依附的边
if (i == -1 || j == -1 || graph->arcs[i][j] != MAX_INT)
{
printf("不存在该顶点或该顶点已有依附的边\n");
exit(-1);
}
//对称赋值
graph->arcs[i][j] = weight;
graph->arcs[j][i] = weight;
}
}
查找顶点是否存在
int findVex(AMGraph* graph, char vex)
{
for (int i = 0; i < graph->vexNum; i++)
{
if (vex == graph->vexs[i])
{
return i;
}
}
return -1;
}
1.4.2邻接矩阵创建无向图和有向网
无向图：和无向网区别就是无向图的边不存在权值，因此初始化邻接矩阵时边均为0，构造邻接矩阵时，存在的边为1
有向网：有向网的邻接矩阵不一定时对称矩阵，因此仅需为graph->arcs[i][j]赋值，而不需要在对称元素上赋值
邻接矩阵不便于增加和删除顶点；当边数较少时比较浪费空间
2.邻接表
2.1无向图的邻接表
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顶点：按编号顺序将顶点存放在一维数组中，一维数组中每个元素都有指针域和数据域
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边：用链表存储关联了同一顶点的所有边；每个结点有两个数据
adjvex为邻接顶点，nextarc为下一条边；eg：
代表v1有两条边，分别邻接的是在顶点数组中下标为3的顶点和下标为1的顶点当为无向网时，可以给表结点增加数据域以存放权值
无向图邻接表的特点：
- 邻接表不唯一，关联了同一顶点的边在链表中的位置可以任意
- 每一条边会在一个邻接表中出现2次，因此在无向图的邻接表当中，若有 n 个顶点，e 条边， 则其邻接表需要 n 个头结点和 2e 个表结点
- 用邻接表表示的无向图中顶点vi的度为第 i 个单链表中的结点数
2.1.1实现
实现步骤：
- 输入顶点数和边数
- 建立顶点表，依次输入顶点数据，并初始化顶点表中每个顶点的指针域为NULL
- 创建临邻接表
- 依次输入每条边依附的两个顶点( 起点，终点 )
- 确定两个顶点的下标 i 和 j ，建立两个边结点，一个结点的head存放起点的下标，另一个存放终点的下标
- 将存放起点下标的边结点链接到对应的终点顶点上，存放终点下标的边结点链接到对应的起点顶点上
- 结构
//边结构
typedef struct GraphNode
{
int head;
struct GraphNode* nextArc;
}gNode;
//顶点表
typedef struct Head
{
char data;
gNode* firstArc;
}head;
//图的基本结构
typedef struct ALGraph
{
head gHead[MAX_VEX];
int vexNum, arcNum; //顶点数和边数
}ALgraph;
- 构造
void creatGraph(ALgraph* graph)
{
printf("请输入顶点数和边数: ");
scanf("%d %d", &(graph->vexNum), &(graph->arcNum));
setbuf(stdin, NULL);
putchar('\n');
//顶点赋值
for (int i = 0; i < graph->vexNum; i++)
{
char c;
printf("请输入第%d个顶点的数据：", i+1);
scanf("%c", &c);
graph->gHead[i].data = c;
graph->gHead[i].firstArc = NULL;
setbuf(stdin, NULL);
putchar('\n');
}
//边结点链接
for (int i = 0; i < graph->arcNum; i++)
{
char v1, v2;
printf("请输入第%d条边依附的结点：", i + 1);
scanf("%c %c", &v1, &v2);
setbuf(stdin, NULL);
int i = indexOfVex(graph, v1);
int j = indexOfVex(graph, v2);
//生成两个结点，因为一条边会关联两个顶点，两个顶点都会链接上这条边
//只是不同顶点对应的边结点的head值不一样
gNode* g = (gNode*)malloc(sizeof(gNode));
g->head = j;
g->nextArc = NULL;
gNode* g2 = (gNode*)malloc(sizeof(gNode));
g2->head = i;
g2->nextArc = NULL;
/*头插，在对应的关联边链表中进行插入
如果用尾插法，需要记录上一次的尾结点，但上一次的尾指针所指向的边结点
不一定就在当次循环中找到的顶点的边链表当中
例如:1. a b a-->1 b-->0 pre-->1
2. b c b-->0 b由于在上次时已经有长子了
而pre此时还是指向a的长子1,pre-->next = g的话，就会变成 a-->1-->2 b-->0，这显然不是我们想要的*/
//链接到对应顶点，存终点下标的链接到起点顶点，存起点下标的链接到终点顶点
g->nextArc = graph->gHead[i].firstArc;
graph->gHead[i].firstArc = g;
g2->nextArc = graph->gHead[j].firstArc;
graph->gHead[j].firstArc = g2;
}
}
2.2有向图的邻接表
有向图的邻接表创建与无向图的邻接表创建区别仅在于：在构造有向图时，由于弧是有方向的，因此只需构造一条出度边依附在出度点上即可，该边的邻接点域值head存储入度点的下标；而在无向图中每条边需要保存两次；因此邻接表表示的无向图空间复杂度记为O(n+2e)，邻接表表示的有向图空间复杂度为O(n+e)
2.2.1实现
void creatGraph(ALgraph* graph)
{
printf("请输入顶点数和边数: ");
scanf("%d %d", &(graph->vexNum), &(graph->arcNum));
setbuf(stdin, NULL);
putchar('\n');
//顶点赋值
for (int i = 0; i < graph->vexNum; i++)
{
char c;
printf("请输入第%d个顶点的数据：", i+1);
scanf("%c", &c);
graph->gHead[i].data = c;
graph->gHead[i].firstArc = NULL;
setbuf(stdin, NULL);
putchar