分数的乘法—疑问解答篇

  上次我写了一篇文章是分数的乘法。在此之后有很多人有不同的想法，今天我将在这里一一解答。

  首先是一个初中的姐姐提出的问题。他说，我的分数乘法的普遍使用率应该加一个前提，就是结果必须是一个最简分数，就比如两个分数相乘得到的结果不是一个最简分数就要约分。但是我现在所说的这个公式，只不过就是你遇到这个问题解答的方法，并没有追究他到底要不要化成最简单。但如果他这个问题脱离开情境，会非常的有价值。两个分数，原本是互致的。相乘之后一定还是一个最简分数吗？那可就不一定了。就比如五分之三乘十一分之十就不是一个最简分数，必须要约分。

  其次，是一个老师提出的建议，他说可以利用乘法分配律来证明这个定律。这是新的一种方法。首先先让我们看一下整数乘分数。在此之前，我发现了一个规律，如下：

图片发自App

  我发现一个数除一个数，就等于第一个数乘以第二个数分之一。这个规律应该可以帮助我解答后面的疑问。但是为什么是这样呢？难道这是普遍适用吗？一个数除一个数，就等于第一个数乘以第二个数的倒数。我想用字母来证明，因为那样是普遍使用。如图：

图片发自App

  A除以N等于A ×N分之一，A除以N可以转化成N分之A，利用分数和乘法的关系。A乘N分之一，也可以转化成N分之1× A。因为整数乘分数等于整数乘分子，看是有几个这样的分数单位。最后，我们发现结果都是一样的。这也可以证明所有的数除1个数，等于乘以第二个数的倒数。

  首先我们可以把整数成分数用字母列出算式，也就是A分之B乘C。具体步骤如下：

图片发自App

  让我们一步一步来看。首先，我根据分数和除法的关系，把A分之B转化成了B除以A。这时，只不过是把这个算式换了一个形式，大小不变。接下来根据刚才我发现的那个规律，把B除以A转化成了B × A分之一，然后再× C。这个时候的大小也是不变的。再往后我发现，这其实就是一个连乘的算式，可以利用乘法交换律把，B合C放到一起先，让他们俩个相乘，最后再乘以A分之一。接下来再逆过来利用，刚才我们发现的那个规律，一个数乘几分之一，就等于除那个数。所以最好可以再把它转化成B C ÷A。最后我们在利用分数和除法的关系，把这个除法算式转化成分数，也就是 A分之B乘C，再把这个结果和原式相对比，我发现果然就是分子乘那个整数，分母不变，得到结果，这也说明了这个定律是对的。

  接下来再让我们看一下分数乘分数，这下就简单了，因为他的方法是基于上面而得到的。首先，让我们先把它转化成字母式子。也就是A分之B乘C分之D。具体步骤如下：

图片发自App

  还是让我们一步一步来看。首先，我根据分数和除法的关系，分别把A分之B和C分之D转化成了B除以A和D除以C。这一步转化完之后是大小不变，只不过形式改变。接下来我再利用刚才我们发现的规律把B除A转化成B乘A分之一，把D除C转化成D乘C分之一。这个时候他是一道连乘的算式，因此我们可以使用乘法交换律。把B和D放在一起，把A分之一和C分之一放在一起。然后我再逆过来利用刚才发现的规律。一个数乘以几分之一，就是除以那个数。这时再根据分数和除法的关系，把这个除法算式转化成分数，也就是C A分之B D最后，再把结果河源市相对果然是分子乘分子做分子分母成分母做分母，这也说明了，这个定律是对的。

  第三个问题是王校提出来的。看能不能把分数乘法的定律，用图形语言表示出来。但是在这里我有一个问题，如果是普遍适用的分成的份数怎么表示呢？也就是说，这个分数的分母怎么表示？而且他取的分数怎么表示，也就是分子。他是随机分成份数，随机取的份数。这可怎么办？所以我只能把这个问题再回问给王校。目前我能画出来的图，也就是这样。

图片发自App

  首先先表示一下A分之B，就是先把一个整体，平均分成A份，取其中的B份。然后再画出C分之D，把一个整体现平均分成C份，取其中D份。然后现在再把它们相乘。可以理解为C分之D的A分之B。首先先画出C分之D，为了表示A分之B，还要再把C分之D平均分成A份，取其中B份，最后取的数量也就是结果。但感觉这样用字母来表示，也不太恰当。后来我询问了一下王校，得知原来思路没有问题，理解都是对的。但是他说表达的方式可以更加科学直观。把A分之B横着用线条表示，C分之D竖着来表示。于是我画出了这幅图：

图片发自App

  给王校看了之后，他很满意。这样画出来果然更加直观。看来问题也没有我想象的那么难，但这是因为是校长问出来的问题，所以我感觉不会太简单，要考虑一系列问题。但如果是同学问出来的，那就不一样了！