二叉树&堆

 数据结构、算法总述：数据结构/基础算法 C/C++_禊月初三的博客-CSDN博客

树

概念:

树(tree) 是n(n≥0)个节点的有限集。当n=0时，称为空树。在任意一个非空树中， 有如下特点：
· 有且仅有一个特定的节点称为根节点
· 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
·因此，树是递归定义的。

 结构:

​

注意：

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树的相关概念 ：

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。

 树的表示方法（左孩子右兄弟）：

struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode* leftChild;
    struct TreeNode* rightBrother;
};

​

 二叉树&堆

二叉树的概念：

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
​

注意:

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

​

 特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
​

 二叉树的性质：

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有＝＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= .
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1=n否则无左孩子
3. 若2i+2=n否则无右孩子

 二叉树的顺序结构：

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树适合使用顺序结构存储，现实中我们通常把堆使用顺序结构的数组来存储。
​

 堆的概念及结构：

如果有一个关键码的集合K = {,,,...,}把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足: <=  且<=  (>=  且= )i= 0则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆

 堆的性质：

·堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
·堆总是一棵完全二叉树

 堆的实现：

#include
#include
#include
#include

typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

void HeapInit(HP* php);
void HeapDestroy(HP* php);
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
// 规定删除堆顶（根节点）
void HeapPop(HP* php);
HPDataType HeapTop(HP* php);
size_t HeapSize(HP* php);
bool HeapEmpty(HP* php);

 实现：

void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);

	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

void HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);

	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}


void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;

	while (child < size)
	{
		if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
		{
			++child;
		}

		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}

size_t HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

遍历二叉树 

概念：

二叉树的遍历是指从根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有节点，使得每个节点都被访问且仅被访问一次

 3+1种遍历：

前序遍历（根 左子树 右子树）

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root)
	{ 
		putchar(root->_data);
		BinaryTreePrevOrder(root->_left);
		BinaryTreePrevOrder(root->_right);
	}
}

中序遍历（左子树 根 右子树）

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root)
	{
		BinaryTreeInOrder(root->_left);
		putchar(root->_data);
		BinaryTreeInOrder(root->_right);
	}
}

后序遍历（左子树 右子树 根）

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
	if (root)
	{
		BinaryTreePostOrder(root->_left);
		BinaryTreePostOrder(root->_right);
		putchar(root->_data);
	}
}

层序遍历 （逐层地，从左到右访问所有节点）

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) 
{
	Que q;//定义一个队列
	QueueInit(&q);//初始化队列
	
	if (root)
		QueuePush(&q, root);//如果根节点不为空则入队列
		
	while (!QueueEmpty(&q)) 
    {
		BTNode* front = QueueFront(&q);//指针指向队头
		printf("%c ", front->data);//输出队头字符
		if(front->left!=NULL)//如果左子树存在则将其入队列
			QueuePush(&q, front->left);
		if(front->right!=NULL)//如果右子树存在则将其入队列
			QueuePush(&q, front->right);
		QueuePop(&q);//将头结点删除，并将下一个结点变为队头
	}
	
	printf("\n");
	QueueDestroy(&q);//销毁队列
}

 

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算法模板(数组模拟)：

堆排序：

// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1
// ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置        ph-:pointer to heap
// hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的    hp-:heap to pointer
int h[N], ph[N], hp[N], size;

// 交换两个点，及其映射关系
void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}

void up(int u)
{
    while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
    {
        heap_swap(u, u / 2);
        u >>= 1;
    }
}

// O(n)建堆
for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);

题目：

839. 模拟堆 - AcWing题库https://www.acwing.com/problem/content/841/