【代码随想录】d42-动态规划-part02-python

1. 62. 不同路径

1.1题目及讲解

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：

• 输入：m = 3, n = 7
• 输出：28

示例 2：

• 输入：m = 3, n = 2
• 输出：3
• 解释：
  从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
  1. 向右 -> 向下 -> 向下
  2. 向下 -> 向下 -> 向右
  3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

• 输入：m = 7, n = 3
• 输出：28

示例 4：

• 输入：m = 3, n = 3
• 输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

题目链接/文章讲解：https://programmercarl.com/0062.%E4%B8%8D%E5%90%8C%E8%B7%AF%E5%BE%84.html
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1ve4y1x7Eu

1.2代码实现

思路：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i][j]表示到达位置[i,j]的路径有dp[i][j]种
2. 确定递推公式
   由于只能从上或者从右到位置[i,j]
   [i-1,j]向下走一步到[i,j]，[i,j-1]向右走一步到[i,j]，所以到[i,j]位置的路径有dp[i-1][j]+dp[i][j-1]种
   推导公式为 ：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
3. dp数组如何初始化
   通过推导公式可得，dp[i][j]需要通过其上方及左侧的值得出，所以初始化时，需要将第一行，第一列全部初始化
   dp[0][j] = 1;
   dp[i][0] = 1;
4. 确定遍历顺序
   遍历顺序则是从起点由上向下，由左到右
5. 举例推导dp数组
   

m = 3
n = 8


def fun():
    # 初始化
    dp = [[0]*n for _ in range(m)]  # 创建一个二维列表用于存储唯一路径数
    for i in range(m):
        dp[i][0] = 1
    for j in range(n):
        dp[0][j] = 1
    # 计算每个单元格的唯一路径数
    for i in range(1, m):  # 初始化时已经计算了位置dp[0][j]和dp[i][0]的路径个数，所以下面的遍历不能从0开始了
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
    # print(dp)
    return dp[-1][-1]  # 返回右下角单元格的唯一路径数


print(fun())

2. 63. 不同路径 II

2.1题目及讲解

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

• 输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
• 输出：2
• 解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
  从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
  1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
  2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

• 输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
• 输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

题目链接/文章讲解：https://programmercarl.com/0063.%E4%B8%8D%E5%90%8C%E8%B7%AF%E5%BE%84II.html
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1Ld4y1k7c6

2.2代码实现

思路：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i][j]表示到达位置[i,j]的路径有dp[i][j]种
2. 确定递推公式
   由于只能从上或者从右到位置[i,j]
   [i-1,j]向下走一步到[i,j]，[i,j-1]向右走一步到[i,j]，所以到[i,j]位置的路径有dp[i-1][j]+dp[i][j-1]种
   推导公式为 ：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
   因为有了障碍，(i, j)如果是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）
3. dp数组初始化
   因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。
   但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。
   
4. 确定遍历顺序
   从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。
5. 举例推导dp数组
   拿示例1来举例如题：
   
   对应的dp table 如图:
   

obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]


def fun():
    # 特殊情况，起始位置或者终止位置有障碍物，那么就无法出发或无法到达
    if obstacleGrid[0][0] == 1 or obstacleGrid[-1][-1] == 1:
        return 0
    # dp数组初始化
    m = len(obstacleGrid)
    n = len(obstacleGrid[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]  # 创建一个二维列表用于存储路径数
    for i in range(m):
        if obstacleGrid[i][0] == 1:  # 遇到障碍物就不初始了，障碍物后面的位置也不初始化了
            break
        dp[i][0] = 1
    for j in range(n):
        if obstacleGrid[0][j] == 1:
            break
        dp[0][j] = 1
    # print(dp)
    for i in range(1,m):
        for j in range(1,n):
            if obstacleGrid[i][j]==0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
    # print(dp)
    return dp[-1][-1]


print(fun())