C++ day43 最后一块石头的重量 目标和 一和零

题目1：1049 最后一块石头的重量

题目链接：最后一块石头的重量

对题目的理解

整数数组stone[i]表示第i块石头的重量，每次从中选出任意两块石头(x<=y)粉碎

如果两块石头重量相等，就会被完全粉碎；如果不等，那么重量轻(x)的石头会被粉碎，另一块石头重量变为y-x

每次最多剩下一块石头，返回此石头可能的最小重量，如果没有石头剩下，就返回0

stone数组中的元素在1~100之间，数组长度在1~30之间

每次让数值相近的石头一起粉碎，这样最终得到的重量会减少，本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

本题物品的重量是stones[i],物品的价值也是stones[i]

动规五部曲

1）dp数组的含义及下标i的含义

dp[j]:表示背包容量为j背的最大价值，

本题表示背包中容量是j时，最大重量是dp[j]

2）递推公式

01背包：dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i])

3）dp数组初始化

dp[0]=0  ,根据递推公式，非零下标对应的dp[j]也初始化为0，这样才不会覆盖初始值

1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 100，所以最大重量就是30 * 100 ，但是背包只需要装最大重量的一半即可（因为将石头分成重量相等的两堆），target=sum/2=3000/2=1500

4）遍历顺序

先正序遍历物品，后倒序遍历背包

for(i=0;i

      for(j=target;j>=stones[i];j--)}

5）打印dp数组

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量，那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]，

因为target=sum/2,是直接抹去小数部分，所以sum-dp[target]>=target

最终石头的最小重量是result=(sum-dp[target])-dp[target]

代码

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector& stones) {
        //数组长度最大是30，数组中的元素最大是100，所以dp数组承受的最大重量是30*100=3000，分成重量相同的两堆，所以大小是1500+1
        //dp数组初始化
        vector dp(1501,0);
        int sum = 0;
        for(int i=0;i=stones[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
            }
        }
        int result = sum-dp[target]-dp[target];
        return result;

        
        

    }
};

• 时间复杂度：O(m × n) , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
• 空间复杂度：O(m)

题目2：494 目标和

题目链接：目标和

对题目的理解

非负整数数组的每个数字前添加   '+'   或  '-' 得到表达式，计算表达式运算结果等于target的不同表达式的数目

本题还是分成两个部分，加法集合left    减法集合right，这两个集合满足下面的两个等式①②

①  left+right=sum

②  left-right=target

right=sum-left

left-(sum-left)=target-->2left-sum=taget   left=(target+sum)/2     注：只有能整除才能找到

如果不能整除，则不存在这样的元素组合使得运算结果等于target，

如果target的绝对值的大于sum，也是无解的

背包容量是left时,看元素中有多少种方式能够装满这个背包,每个元素只用1次，是01背包问题

动规五部曲

1）dp[j]数组即下标j的含义

背包容量为j时，装满背包有dp[j]种方法

2）递推公式   

递推公式：dp[j] += dp[j-nums[i]]      ，在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

3）dp数组初始化

dp[0]=1,如果数组[0] ，target = 0，那么 left = (target + sum) / 2 = 0, dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。

根据递推公式 因为递推公式是累加的，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。,所以非零下标的dp[j]初始为0

4）遍历顺序

01背包：正序遍历物品(元素)，倒序遍历背包（left）

5）打印dp数组

代码

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector& nums, int target) {
        int sum=0;
        for(int i=0;isum) return 0;
        //初始化dp数组
        vector dp(left+1,0);
        dp[0]=1;
        //递推
        for(int i=0;i=nums[i];j--){
                dp[j] += dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[left];
    }
};

• 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
• 空间复杂度：O(m)，m为背包容量

本题记住：求装满背包有几种方法，递推公式为

dp[j] += dp[j-nums[i]];

题目3：474一和零

题目链接：一和零

对题目的理解

返回二进制字符串数组strs最大子集长度，该子集中最多有m个0和n个1，二进制字符串仅由0，1组成

题目要求：strs字符串数组中至少有1个字符串，最多有600个字符串；每个字符串的长度至少为1，最多是100

背包有两个维度，m个0和n个1，装满这个背包有多少个物品

不同长度的字符串就是不同大小的待装物品，每个物品只能使用1次，所以是01背包问题

动规五部曲

1）dp数组及下标i的含义

二维dp数组，dp[i][j]  装满i个0，j个1的背包最多背了dp[i][j]个物品

2）递推公式

01背包递推公式：dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

每个物品的重量是x个0，y个1,是两个维度，所以递推公式为dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i-x][j-y]+1)

3）dp数组初始化

dp[0][0]=0   非零下标 ，若初始化为一个较大的正整数，那么根据递推公式，值会被覆盖掉

所以非零下标的dp[j]也初始化为非负整数的最小值，即0

4）遍历顺序

01背包：先正序遍历物品strs里的字符串，后倒序遍历背包（两个维度，m和n）

5）打印dp数组

代码

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector& strs, int m, int n) {
        //定义并初始化dp数组，这个数组是一个二维数组,有这两个重量0和1
        vector> dp(m+1,vector(n+1,0));
        //递推,先正序遍历物品，后倒序遍历背包
        for(string str:strs){
            //遍历物品（字符串数组）
            int x=0;//记录当前字符串中0的个数
            int y=0;//记录当前字符串中1的个数
            for(char c:str){//遍历字符串中的每个字符,统计字符串中0和1的数量
                if(c=='0') x++;
                else y++;
            }        
            for(int i=m;i>=x;i--){//遍历背包
                for(int j=n;j>=y;j--){
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-x][j-y]+1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

• 时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
• 空间复杂度: O(mn)