简单位运算

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• 求 $n$ 的第 $k$ 位是二进制的几

  • 我们需要用到&运算符：两位都为 $1$ 时结果才为 $1$ ，否则为 $0$
  • 公式：$$n>>k\&1$$

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• lowbit(n)操作求解 $n$ 的最后一个 $1$

  

  • 由此我们可以得到公式：$$lowbit(x)=x\&(-x)$$ 最终得到一个 $1$ 后面跟着一串 $0$
  • 评论区dalao的方案
    

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  题目练习

  AcWing 801. 二进制中1的个数

  题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/description/803/
  

  • 直接用我们刚刚的结论即可

  CODE1

  #include 
  #include 
  #include 
  #include 
  
  using namespace std;
  
  int n;
  
  int lowbit(int n){
      return n & (-n);
  }
  
  int main()
  {
      cin >> n;
      
      while(n--){
          int x, ans = 0;
          cin >> x;
          
          while(x) ans++, x -= lowbit(x);		//只要x不为0，那就肯定含1
          
          cout << ans << ' ';
      }
  }
  

  ###CODE2

  #include 
  #include 
  #include 
  #include 
  
  using namespace std;
  
  int n;
  
  int main()
  {
      cin >> n;
      
      while(n--){
          int x, ans = 0;
          cin >> x;
          
          while(x) ans++, x &= x - 1;
          
          cout << ans << ' ';
      }
  }
  

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• 原码、补码、反码

  
  • $intx=10$，二进制表示为 $\mathrm{00...01010}$
  • 对于-x我们该怎么表示呢？
    • 众所周知，计算机底层是没有减法的，所以只能靠加法来表示减法，那么就是式子：$$x+(-x)=0$$
    • 最终运算得到$$-x=0-x$$
    • 而$$0-x=\tilde{}x（x取反）+1=-x$$