Leetcode刷题-312 :戳气球

1.题目介绍：

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。 现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。
求所能获得硬币的最大数量。

示例1

输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释： nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8]–> [8] --> []
也就是coins = 3* 1* 5 + 3* 5* 8 + 1* 3* 8 + 1* 8* 1 = 167

示例2

输入：nums = [1,5]
输出：coins=10

题目来源：力扣（LeetCode）

2.题目分析：

2.1 穷举不可行

• 首先看到这个题目最先想到的肯定是利用穷举的方法来进行解题，但是略加思索就会发现穷举的话复杂度极高，是n的全排列，而且在穷举过程中各种先后顺序的处理十分复杂易出错，所以放弃这种解法。
• 那么我们可以试图再次分析这个题目要求，一般来说这种复杂的问题可以使用递归思想来解决，我们也尝试采用递归思想来切入。先尝试采用第n次的戳破进行递归切入，单凭一维数字n的话，第n-1次戳破的状态不好确定，发现不可行。继续思考，如果我们戳破一个气球，那么就会计算刚刚戳破的这个气球与其前后两个气球的数字乘积。

2.2 区间层次的动态规划

• 基于递归思想，我们可以假设有两个元素[i,j]，在这两个元素间内最后一次戳破的是元素k(i的话（说明戳破k之后i和j变成相邻状态）,那么这次戳破之后就会之前计算的最大值coins基础上继续加上nums[i]* nums[k] * nums[j]。以此延申，假如[i,j]之间有不止一个元素，也就是除k以外还有元素，那么如何求这个区间[i,j]的最大乘积呢？
• 继续假设有一个k，这个k是[i,j]最后一个戳破的气球，那么在戳破k之前已经进行了数个步骤确定了这些步骤的最大值，也就是说在戳破k后的最大乘积coins = dp[i][j] = max(dp[i][j],(dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[k] * nums[j]));其中的dp[i][j]就表示在区间[i,j]上进行最优化戳破之后得到的最大乘积coins。对公式进行解释就是戳破k右边的所有气球得到的dp[i][k]和戳破k左边的所有气球得到的最大值dp[k][j].
• 因此我们可以得到以下转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i][j],(dp[i][k]+dp[k][j]+ nums[i]*nums[k]*nums[j]));

另外，在实际解题中我们会碰到戳破第一个或者最后一个气球的情况，此时是多赋一个1在其左边或右边。为了控制循环中的数组下标越界问题，我们在解题之初给vector首尾插入一个1作为辅助工具，这样可以避免下标出错。所以最终的结果就是dp[0][n+1],也就是区间是首尾各添加一个元素1的新区间。
注意在递推时最外层的i要从n-1到0，这是因为dp[i][j]的计算依赖于dp[i][k]和dp[k][j]，但是我们知道idp[k][j]此时还是个未知数，所以说是从n-1~0做循环。

3.题目解答：

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 2, vector<int>(n + 2, 0));
        nums.insert(nums.begin(), 1);
        nums.push_back(1);
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 2; j <= n + 1; j++) {
                for (int k = i + 1; k < j; k++) {
                    dp[i][j] = max(
                            dp[i][j],
                            (dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[k] * nums[j]));
                }
            }
        }
        return dp[0][n + 1];
    }
};

总结：动态规划某种程度上就是一个递归问题的逆过程，一般来说确定了递推方程后的动态规划求解需要注意到dp[i]和dp[i-1]等元素的先后计算问题，有些时候前面计算的值对后面有影响需要通过循环的方向来消除影响。如本题中的外层循环for (int i = n - 1; i >= 0; i--)如果改成for (int i = 0; i 就会引发意想不到的错误。