堆排序及应用举例

1. 介绍 

1.什么是堆：

堆是一棵完全二叉树的数据结构，可以分为大根堆和小根堆。大根堆就是树的每一个父节点都大于孩子节点，小根堆则相反。

注意：若将树按数组形式存放，对于索引为 i 的节点则有以下性质：

① 父结点索引：(i-1)/2     ② 左孩子索引：2*i+1       ③右孩子索引：2*i+2

从而对于大顶堆：arr[i] >= arr[2i + 1] && arr[i] >= arr[2i + 2]

2.堆排序思想：

第一步建堆，第二步排序。

算法描述：

• 将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；

• 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；

• 由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新大顶堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

3. 堆排序实现：

 // 1. 建堆
 
function buildMaxHeap(arr) {   // 建立大顶堆
    len = arr.length;
    for (var i = Math.floor(len/2); i >= 0; i--) {
        heapify(arr, i);
    }
}
 
function heapify(arr, i) {     // 堆调整
    var left = 2 * i + 1,
        right = 2 * i + 2,
        largest = i;
 
    if (left < len && arr[left] > arr[largest]) {
        largest = left;
    }
 
    if (right < len && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }
 
    if (largest != i) {
        swap(arr, i, largest);
        heapify(arr, largest);
    }
}
 
//2.排序

 
function heapSort(arr) {
    buildMaxHeap(arr);
    for (var i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
        swap(arr, 0, i);
        len--;
        heapify(arr, 0);
    }
    return arr;
}

function swap(arr, i, j) {
    var temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

2. 应用

例1: 1000w条数据如何排序，取前一百个

三种解法：

1. 先取出前100个数，维护一个100个数的最小堆，遍历一遍剩余的元素，在此过程中维护堆就可以了。具体步骤如下：
   step1：取前m个元素（例如m=100），建立一个小顶堆。保持一个小顶堆得性质的步骤，运行时间为O（lgm);建立一个小顶堆运行时间为mO（lgm）=O(m lgm);
   step2:顺序读取后续元素，直到结束。每次读取一个元素，如果该元素比堆顶元素小，直接丢弃
   如果大于堆顶元素，则用该元素替换堆顶元素，然后保持最小堆性质。最坏情况是每次都需要替换掉堆顶的最小元素，因此需要维护堆的代价为(N-m)O(lgm);
   最后这个堆中的元素就是前最大的10W个。时间复杂度为O(N lgm）。
   补充：这个方法的说法也可以更简化一些：
   假设数组arr保存100个数字，首先取前100个数字放入数组arr，对于第101个数字k，如果k大于arr中的最小数，则用k替换最小数，对剩下的数字都进行这种处理。

2. 分块查找

   先把100w个数分成100份，每份1w个数。先分别找出每1w个数里面的最大的数，然后比较。找出100个最大的数中的最大的数和最小的数，取最大数的这组的第二大的数，与最小的数比较

3. 根据快速排序划分的思想
   (1) 递归对所有数据分成[a,b）b（b,d]两个区间，(b,d]区间内的数都是大于[a,b)区间内的数
   (2) 对(b,d]重复(1)操作，直到最右边的区间个数小于100个。注意[a,b)区间不用划分
   (3) 返回上一个区间，并返回此区间的数字数目。接着方法仍然是对上一区间的左边进行划分，分为[a2,b2）b2（b2,d2]两个区间，取（b2,d2]区间。如果个数不够，继续(3)操作，如果个数超过100的就重复1操作，直到最后右边只有100个数为止。

例2: 找第K大的数

        思路：构造前k个最大元素小顶堆（小顶堆上的任意节点值都必须小于等于其左右子节点值，即堆顶是最小值。），取堆顶即可。

具体步骤如下：

• 从数组中取前k个数（0到k-1位），构造一个小顶堆
• 从k位开始遍历数组，每一个数据都和小顶堆的堆顶元素进行比较，如果小于堆顶元素，则不做任何处理，继续遍历下一元素；如果大于堆顶元素，则将这个元素替换掉堆顶元素，然后再堆化成一个小顶堆。
• 遍历完成后，堆顶的数据就是第 K 大的数据

let findKthLargest = function(nums, k) {
    // 从 nums 中取出前 k 个数，构建一个小顶堆
    let heap = [,], i = 0
    while(i < k) {
       heap.push(nums[i++]) 
    }
    buildHeap(heap, k)

    // 从 k 位开始遍历数组
    for(let i = k; i < nums.length; i++) {
        if(heap[1] < nums[i]) {
            // 替换并堆化
            heap[1] = nums[i]
            heapify(heap, k, 1)
        }
    }

    // 返回堆顶元素
    return heap[1]
};

// 原地建堆，从后往前，自上而下式建小顶堆
let buildHeap = (arr, k) => {
    if(k === 1) return
    // 从最后一个非叶子节点开始，自上而下式堆化
    for(let i = Math.floor(k/2); i>=1 ; i--) {
        heapify(arr, k, i)
    }
}

// 堆化
let heapify = (arr, k, i) => {
    // 自上而下式堆化
    while(true) {
        let minIndex = i
        if(2*i <= k && arr[2*i] < arr[i]) {
            minIndex = 2*i
        }
        if(2*i+1 <= k && arr[2*i+1] < arr[minIndex]) {
            minIndex = 2*i+1
        }
        if(minIndex !== i) {
            swap(arr, i, minIndex)
            i = minIndex
        } else {
            break
        }
    }
}

// 交换
let swap = (arr, i , j) => {
    let temp = arr[i]
    arr[i] = arr[j]
    arr[j] = temp
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：遍历数组需要 O(n) 的时间复杂度，一次堆化需要 O(logk) 时间复杂度，所以利用堆求 Top k 问题的时间复杂度为 O(nlogk)
• 空间复杂度：O(k)