I Hate Non-integer Number，（线性dp，计数类）
D - I Hate Non-integer Number (atcoder.jp)
Problem Statement
You are given a sequence of positive integers A=(a1,…,aN) of length N.
There are (2N−1) ways to choose one or more terms of A. How many of them have an integer-valued average? Find the count modulo 998244353.
Constraints
- 1≤N≤100
- 1≤ai≤109
- All values in input are integers.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N a1 …… aN
Output
Print the answer.
Sample 1
| Inputcopy | Outputcopy |
|---|---|
3 2 6 2 |
6 |
For each way to choose terms of A, the average is obtained as follows:
-
If just a1 is chosen,the average is an integer.
-
If just a2 is chosen, the average is an integer.
-
If just a3 is chosen,the average is an integer.
-
If a1 and a2 are chosen, the average is an integer.
-
If a1 and a3 are chosen,the average is an integer.
-
If a2 and a3 are chosen, the average is an integer.
-
If a1, a2, and a3 are chosen, the average is not an integer.
Therefore, 66 ways satisfy the condition.
Sample 2
| Inputcopy | Outputcopy |
|---|---|
5 5 5 5 5 5 |
31 |
Regardless of the choice of one or more terms of A, the average equals 5.
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解析：
dp题我们要进行状态的划分，即集合的划分，且遵循一下划分原则：划分的状态不重不漏，且体现出转移所依据的状态
这到题是一道较难的题目，因此，我们需要发掘题目中的性质，利用性质解决该问题
这里我们可以发现，性质：题目中的有效状态是所选数字的和对所选数字个数取模等于 0。
有发现数字个数最多不超过 100 ，因此我们可以使用 取模来进行其中的状态表示。
——————————————————————————————————————
集合划分：f[i][j][k] 表示：前 i 个数中选择 j 个，前 i 个数的和 % j 等于 k
状态转移：
1、f[i-1][j][k]
2、f[i-1][j-1][((k-a[i])%j+j)%j]
但我们发现第 2 个状态转移的中，((k-a[i])%j+j)%j 是想找：前 i-1 个数取 j-1 个，前 i-1 个数的和 % j 等于 ((k-a[i])%j+j)%j 。但实际上 f[i-1][j-1][((k-a[i])%j+j)%j] 前 i-1 个数取 j-1 个， 前 i-1 个数的和 % j-1 等于 ((k-a[i])%j+j)%j
因此这是状态转移过程是错误的。
——————————————————————————————————————————
我们可以改进一下：
集合划分：f[i][j][k] 表示：前 i 个数中选择 j 个，前 i 个数的和 % j 等于 k
状态转移：
1、f[i-1][j][k]
2、f[i-1][j-1][((k-a[i])%p+p)%p]
我们在最外层多加一层循环，表示 p ，这样就可以解决上述问题了。
答案就是 ans=(ans+f[n][p][0])%mod
时间复杂度位O(n^4),不会超时
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