动态规划--不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。

问总共有多少条不同的路径？

示例 ：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

思路

暴力算法就是深搜了，把每条路径都遍历一遍。

代码如下：

时间复杂度达到O(2^(m+n))，显然超时了。

动态规划

确定dp数组：

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

状态转移方程：想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]，那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。得到：

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

初始化：dp[i][0]=1，dp[0][j]=1。

解法

C++代码

Java代码

拓展

可以使用滚动数组，将空间复杂度从O(n^2)降到O(n)。