快速幂算法详解(C++实现)

文章目录

  • 1. 什么是快速幂
  • 2. 暴力求解
    • 代码实现
    • 缺陷分析
  • 3. 优化一:取模运算的性质
  • 4. 优化二:快速幂算法的核心思想
  • 5. 终极优化:位运算优化
  • 6. 源码

这篇文章我们来一起学习一个算法——快速幂算法。

1. 什么是快速幂

顾名思义,快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N), 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

那快速幂算法呢一般就是用来解决如下的问题:

快速幂算法详解(C++实现)_第1张图片
我们看到它的取值范围是比较大的,所以我们可以用long long

2. 暴力求解

代码实现

那这个问题呢乍一看很简单:

我们可以考虑用循环(或者使用pow函数)直接计算a^b的值,然后对c去模即可。
快速幂算法详解(C++实现)_第2张图片

缺陷分析

但是呢,这样写我们的算法其实是有去缺陷的:

首先它的时间复杂度是O(b),而上面题目中b的取值是【0,10^18】。
所以当b的取值比较大的时候,时间复杂度就会很大,那么算法的效率就比较低。
此外这里的ret不断乘等以a,它的范围是很有可能超过long long 的。
快速幂算法详解(C++实现)_第3张图片
那一旦溢出的话,结果可能就错了。

所以我们要想办法对该算法进行优化

3. 优化一:取模运算的性质

首先我们可以根据取模运算的性质进行第一重优化:

取模运算是满足这样一条性质的
(a*b)%c=((a%c)*(b%c))%c
大家有兴趣可以自己证明一下
那这样的话我们之前是每次让ret*=a,乘等b次,最后再去模。
那现在我们可以在每次ret*=a之后都对ret进行一次取模
快速幂算法详解(C++实现)_第4张图片
那这样的话ret就不太容易溢出了。

long long fastPow(long long a, long long b, long long c)
{
	long long ret = 1;
	for (int i = 0; i < b; i++)
	{
		ret *= a;
		ret %= c;
	}

	return ret % c;
}

但是,是否仍然有缺陷呢?

,它的时间复杂度并没有得到优化,还是O(b)

所以,我们再来想办法优化:

4. 优化二:快速幂算法的核心思想

快速幂算法的核心思想就是每一步都把指数分成两半,而相应的底数做平方运算。这样不仅能把非常大的指数给不断变小,所需要执行的循环次数也变小,而最后表示的结果却一直不会变。

我们来举个例子:

比如算3^10
那其实可以这样写:
3^10=(3^2)^5=9^5=9*9^4=9*81^2
那观察这个式子其实我们能发现这样的规律:

  1. 如果指数是是偶数的话,那么指数除以2,底数平方,前后的值是相等的。(ret*3^10=ret*(3^2)^5
  2. 如果指数是奇数的话,先将ret*=底数,然后依然是指数除以2,底数平方,前后值相同(ret*9^5=ret*9*81^2

那我们来算一下这种写法的时间复杂度:

这样优化之后呢,每次指数的值都会/=2,即b/=2,那之前我们要循环b次,现在就是O(logb),即以2为底,b的对数。

那我们来写一下代码:

快速幂算法详解(C++实现)_第5张图片
那此外,为了防止输入的a过大的话,我们上来可以直接对a取模
快速幂算法详解(C++实现)_第6张图片

5. 终极优化:位运算优化

那针对上面的代码,有两处地方我们其实还可以进行一个优化:

首先
快速幂算法详解(C++实现)_第7张图片
判断指数是偶数还是奇数这里,还有一种更高效的方法就是使用位运算,让b&1,因为1的补码只有最后一位为1,其余全为0,如果b是奇数的话,那它的最后一位为1,b&1的结果就是1,如果b是偶数,那最后一位为0,b&1的结果是0
快速幂算法详解(C++实现)_第8张图片
然后就是:
快速幂算法详解(C++实现)_第9张图片
b/=2这里,我们可以用b>>=1代替(整数算术右移一位相当于除以2并向下取整)
快速幂算法详解(C++实现)_第10张图片
关于移位操作符如果大家遗忘了可以看: 【C操作符详解】之 移位操作符

我找了一道OJ,我们可以来测试一下:

快速幂算法详解(C++实现)_第11张图片
快速幂算法详解(C++实现)_第12张图片

没有问题!

6. 源码

#include 
using namespace std;
long long fastPow(long long a, long long b, long long c)
{
	long long ret = 1;
	a %= c;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
		{
			ret *= a;
			ret %= c;
		}
		a *= a;
		a %= c;
		b >>= 1;
	}
	return ret;
}

int main()
{
	long long a = 0;
	long long b = 0;
	long long m = 0;
	cin >> a >> b >> m;
	cout << fastPow(a, b, m) << endl;
	return 0;
}

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