三棱柱：2013年文数全国卷B题18

三棱柱：2013年文数全国卷B题18（12分）

如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点.

（I）证明∶//平面 ;

（Ⅱ）设 ，求三棱锥 的体积.

2013年文数全国卷B

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【解答问题I】

连接 , 记 的交点为 .

连接 .

∵ 是直三棱柱,

∴ 是矩形，∴ 是 的中点；

∵ 是 中点， 是 中点，

∴ 是 的中位线，

∵ , 平面 ,

∴ //平面 . 证明完毕.

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【解答问题Ⅱ】

∵ ，

∴ 是正方形， 是等腰直角三角形；

∵ 是 的中点，∴

∵ 是直三棱柱, ∴ ,

∴ 平面

∵ 是 的中点，

∴

.

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【提炼与提高】

本题第1问，由中位线性质推出线线平行，再由线线平行推出线面平行。这在立体几何中是相当常用的一条思路。

成功解答第1问的关键有两点：

（1）具备一定的空间想象力，能迅速看出几个面的特征；

（2）熟悉平面几何中的相关定理。

第2问求四面体的体积，也是比较基础的问题。关键是要迅速地求出 的面积。

∵ 两点分别是 的中点，

∴

∴

矩形中的这个三角形，在最近十年的高考题中出现了多次。其求法也并不复杂，用到的时候一定要能迅速反应，不要犹豫拖延.

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