图 | 通用汇点 Universal Sink

今天是憨批三人组的第一次旅行。半小时畅游田家炳楼～
本篇内容是从此还是怕天明的初代憨批拿出的一道题～

原题

CLRS 22.1-6：图的通用汇点（Universal Sink）

如果我们用邻接矩阵来存储图，那么绝大多数图算法的运行时间都是Ω(|V|²)（V为一个图的顶点集），但还是有些例外。比如，给定一个有向图Ｇ的邻接矩阵Ａ，我们可以在Ο(|V|)时间内判断图G是否包含一个通用汇点，即一个入度为|V|-1出度为0的顶点。请给出这样的算法。

思路

• 第一反应
  输入边的时候就统计出入度，然后顺序遍历一下结点的出入度，就ok惹（是的，如果是PAT考试的话肯定要先输入边集的，所以不能比Ο(|V|+|E|)复杂度更低了吧= =）……

• 然而，本题是说给定一个存了图的矩阵，用线性复杂度找出通用汇点。

• 标答

  
  

解释

在矩阵里遍历的示意图

• 初始： 矩阵G，N个结点编号1 - N，行下标i = 1，列下标j = 1

• 遍历，规则如下

  • loop：检查G(i, j)
    • 为1，Vi有出边。Vi不可能是通用汇点
      i++（去检查V i+1，图上⬇️）
    • 为0，Vi没有指向Vj，Vi可能是通用汇点，而Vj不可能是
      j++（继续检查Vi是不是指向了下一个点，图上➡️）
  • 终止：每步都⬇️或者➡️，i或者j必定超过N
    • i超过N，不存在通用汇点，结束。
    • j超过N，那Vi可能是通用汇点。然而，为什么Vk（k > i）不能是通用汇点呢？
      因为j超过N，一定是已经向右走了N次，即在每一列都已经找到了0，而汇点x应该是除了G(x,x)为0外，x列全1的。此时循环是因为j爆掉而终止（最后一步是向右走），j一定大于i。k列（k>x）一定不是除G(k,k)外全1了，因为每列在前i行已经都有0了。
      所以只要检查Vi的出入度，看它到底是不是通用汇点就可以了（通用汇点特征：若存在，必唯一。矩阵里的一个“十字”，交点为0，此外竖着全1，横着全0）。