数值微分和数值积分

数值微分和数组积分都有用函数值近似拟合的形式,它们可以表述成
$x_i$的数组微分(积分)$=\sum a_{k}f(x_k)$

数值微分

先插值,再对插值函数求导

三个点的一二阶导是:
$f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{2h}[-3f(x_0)+4f(x_1)-f(x_2)]$
$f^{\prime }(x_1)=\frac{1}{2h}[-f(x_0)+f(x_2)]$
$f^{\prime }(x_2)=\frac{1}{2h}[f(x_0)-4f(x_1)+3f(x_2)]$

$f^{\prime \prime }(x_i)=\frac{1}{h^2}[f(x_0)-2f(x_1)+f(x_2)]$

数值积分

牛顿-柯特斯公式
是拉格朗日插值的积分,它最终形式有
${\int }_a^{b}f(x)dx\approx (b-a)\sum C_k^{(n)}f(x_k)$
它要求$x_k$之间等距
$C_k^{(n)}$是一个与$a,b,f(x)$无关的柯特斯系数,可以查表得到

n	$C_k^{(n)}$
1	$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
2	$\frac{1}{6}$ $\frac{4}{6}$ $\frac{1}{6}$
3	$\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{8}$

n=0 是矩形公式
n=1 是梯形公式
n=2 是抛物线公式,也叫辛普森公式

复合积分
分段求插值近似积分

高斯型积分

高斯型积分也是
${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum a_{k}f(x_k)$的形式
不过它的节点$x_k$不是等距的,并且和积分区间有关联

${\int }_1^{-1}f(x)dx\approx A_{0}f(x_0)+A_{1}f(x_1)$
构造方程,待定系数法求解
$f(x)=1->A_0+A_1=2$
$f(x)=x->A_0{x}_0+A_1{x}_1=0$
$f(x)=x^2->A_0{x}_0^2+A_1{x}_1^2=2/3$
$f(x)=x^3->A_0{x}_0^3+A_1{x}_1^3=0$

高斯节点是任意n次正交多项式的零点
它的$a_k$ 和$x_k$可以查表

它和正交多项式有对应关系
在[-1,1]区间,有高斯-勒让德积分
根据权函数的不同还有对应类似的高斯-切比雪夫积分;高斯-埃尔米特积分