【数据库】第四章 关系数据库理论 笔记

一、关系数据库理论

关系数据库的规范化理论
（1）函数依赖——核心，是模式分解和设计的基础
（2）范式 ——模式分解的标准
（3）模式设计
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一个好的关系模式应该具备以下四个条件：
（1）尽可能少的数据冗余；
（2）没有插入异常；
（3）没有删除异常；
（4）没有更新异常。

二、函数依赖

2.1 定义

关系模式中的各属性之间相互依赖、相互制约的联系称为数据依赖。
其中包含函数依赖和多值依赖。
函数依赖（FD，Functional Dependency）是关系模式中属性之间的一种逻辑依赖关系。
函数依赖的定义
设关系模式R(U，F)，U是属性全集，F是 U上的函数依赖所构成的集合，X和Y是U的子集，如果对于R(U)的任意一个可能的关系r，对于X的每一个具体值，Y都有唯一的具体值与之对应，则称X决定函数Y， 或Y函数依赖于X，记作X→Y。我们称X为决定因素，Y为依赖因素。当Y不函数依赖于X时，记作：X →Y（→上要加一个左斜杆，打不上去）。当X→Y且Y→X时，则记作：X↔Y。
例子：
U={SNo，SN，Age，Dept，MN，CNo，Score}
F={SNo→SN，SNo→Age，SNo→Dept， (SNo，CNo)→Score}
函数依赖的逻辑蕴涵定义
设F是在关系模式R(U)上成立的函数依赖集合，X，Y是属性集U的子集，X→Y是一个函数依赖。如果从F中能够推导出X→Y，即如果对于R的每个满足F的关系r也满足X→Y，则称X→Y为F的逻辑蕴涵（或F逻辑蕴涵X→Y），记为F|=X→Y 。
闭包（Closure）的定义
设F 是函数依赖集，被F 逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合，称为函数依赖集F 的闭包（Closure），记为F +。即：F +={ X→Y | F |=X→Y }
函数依赖的推理规则及正确性
设有关系模式R（U），U是关系模式R 的属性集，F 是R上成立的只涉及U 中属性的函数依赖
集。X，Y，Z，W 均是U 的子集，r 是R 的一个实例。
Armstrong 公理及正确性
A1：自反律(Reflexivity)
如果Y X U，则X→Y在R上成立。即一组属性函数决定它的所有子集。如：（SNo，CNo）→SNo
A2：增广律(Augmentation)
若X→Y在R上成立，且Z U，则XZ→YZ在R上也成立。如： SNo→Age, （Sno，SN）→（Age，SN）
A3：传递律(Transitivity)
若X→Y和Y→Z在R上成立，则X→Z在R上也成立。如： SNo→Dept, Dept→MN，SNo →MN

定理：如果X →Y是从F用Armstrong公理推理导出，那么X →Y在F+中。
Armstrong 公理推论及正确性
合并律（Union rule） 若X→Y和X→Z在R上成立，则X→YZ在R上也成立。
伪传递律（Pseudotransitivity rule） 若X→Y和YW→Z在R上成立，则XW→Z在R上也成立。
分解律（Decomposition rule） 若X→Y和Z Y在R上成立，则X→Z在R上也成立。
函数依赖的推理规则及正确性
定理：如果A1A2…An是关系模式R的属性集，那么X →A1A2…An成立的充分必要条件是X →Ai（i=1,2,…n）成立。
复合律（Composition） 若X→Y和W→Z在R上成立，则XW→YZ在R上也成立
函数依赖推理规则的完备性
正确性：从函数依赖集F使用推理规则推出的函数依赖必定在F+中
完备性：F+中的函数依赖都能从F集使用推理规则集推出

2.2 完全函数依赖于部分函数依赖

完全函数依赖定义：

只有当决定因素是组合属性时，讨论部分函数依赖才有意义；
当决定因素是单属性时，只能是完全函数依赖。
传递函数依赖定义：

2.3 属性集的闭包及其算法

定义：
设有关系模式R(U)，U是属性集，F是R上的函数依赖集，X是U的子集（X U），用函数依赖推理规则可从F推出函数依赖X→A中所有A的集合，称为属性集X关于F的闭包，记为X+。

定理：

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2.4 候选码的求解和算法

候选码的定义：
 设关系模式R的属性集是U，X是U的一个子集，F是在R上成立的函数依赖集。
 如果X→U在R上成立（即X→U在F+中），那么称X是R的一个超码。
 如果X→U在R上成立，但对X的任一真子集X′都有X′→U不成立（即X′→U不在F+中，或者X → U），那么称X是R上的一个候选码。
快速求解候选码的一个充分条件
对于给定的关系模式R(A1…，An)和函数依赖集F，可将其属性分为四类：L类 R类 N类 LR类
定理
（1）若X（X∈R）是L类属性，则X必为R的任一候选码的成员。
（2）若X（X∈R）是L类属性，且X+包含了R的全部属性，则X必为R的唯一候选码
（3）若X（X∈R）是R类属性，则X不在任何候选码中
（4）若X（X∈R）是N类属性，则X必为R的任一候选码的成员。
（5）若X（X∈R）是R的N类和L类属性组成的属性集， （5） 且X+包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选码。
（6）若X（X∈R）是LR类属性，则X可能为R的任一候选码的成员，也可能不为R的任一候选码的成员。
多属性函数依赖集候选码的求解算法
设有关系模式R，F是R上的函数依赖集，求R的所有候选码
输入：关系模式R及其函数依赖集F
输出：关系模式R的所有候选码
（1）属性分类（L、R、N和LR），X代表L 类和N类属性，Y代表LR类属性。
（2）若X+包含了R的全部属性，转（5）；否则， 转（3）。
（3）在Y中取一个属性A，求(XA)+，若它包含了R的全部属性，则转（4）；否则，调换一属性反复进行这一过程，直到试完所有Y中的属性。
（4）如果已找出所有候选码，则转（5）；否则在Y中依次取两个属性、三个属性、…，求它们的属性集的闭包，直到其闭包包含R的全部属性。
（5）停止，输出结果。

例：设有关系模式R（A,B,C,D,E）与它的函数依赖集F={A → BC， CD →E， B →D，E →A}，求R 的所有候选码。
 属性A、B、C、D、E 都是LR类属性
 依次取一个属性求解属性集闭包A+=ABCDE，B+=BD，C+=C，D+=D，E+=ABCDE
 取出两个属性计算属性集闭包(BC)+=ABCDE，(CD)+=ABCDE，(BD)+=BD
 R 的候选码为A、E、BC 和CD

2.5 函数依赖集的等价、覆盖和最小函数依赖集

等价、覆盖
定义：
关系模式R(U)的两个函数依赖集F和G，如果满足F+= G+ ，则称F和G是等价的函数依赖集。作：F≡G。如果F和G等价，就说F覆盖G，或G覆盖F。
依赖集
定义：
设F是属性集U上的函数依赖集，X→Y是F中的函数依赖。函数依赖中无关属性、无关函数依赖的定义如下：
（1）如果A∈X，且F逻辑蕴涵(F-{X→Y}) ∪ {(X-A) →Y}，则称属性A是X→Y左部的无关属性。
（2）如果A∈X，且(F-{X→Y}) ∪ {X→(Y-A)}逻辑蕴涵F，则称属性A是X→Y右部的无关属性。
（3）如果X→Y的左右两边的属性都是无关属性，则函数依赖X→Y称为无关函数依赖

定义：
设F是属性集U上的函数依赖集。如果Fmin是F的一个最小函数依赖集，那么Fmin应满足下列四个条件：
（1）Fmin+=F+；
（2）每个函数依赖的右边都是单属性；
（3）Fmin中没有冗余的函数依赖（即在Fmin中不存在这样的函数依赖X→Y，使得Fmin与Fmin-{X→Y}等价），即减少任何一个函数依赖都将与原来的F不等价；
（4）每个函数依赖的左边没有冗余的属性（即Fmin中不存在这样的函数依赖X→Y，X有真子集W使得Fmin- {X→Y} ∪ {W→Y}与Fmin等价），减少任何一个函数依赖左部的属性后，都将与原来的F不等价。

算法——计算函数依赖集F的最小函数依赖集G
（1）对F中的任一函数依赖X→Y，如果Y=Y1,Y2,…，Yk （k≥2）多于一个属性，就用分解律，分解为X→Y1，X→Y2，…，X→Yk，替换X→Y，得到一个与F等价的函数依赖集G，G中每个函数依赖的右边均为单属性。
（2）去掉G中各函数依赖左部多余的属性。即一个一个检查G左边是非单属性的依赖。如，XY→A，现在要判断Y是否为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？只要在G中求X+，若X+包含A，则说明X→A可以代替XY→A，即Y是多余的属性；否则，Y不是多余的属性。
（3）在G中消除冗余的函数依赖。具体做法是：从第一个函数依赖开始，在G中去掉它（假设该函数依赖是X→Y ），然后在剩下的函数依赖中求X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；若不包含Y，则不能去掉X→Y。依次进行下去。

三、关系模式的分解

定义：
设有关系模式R（U），R1，R2，…，Rk都 是R 的子集（此处把关系模式看成是属性的集合），R=R1∪R2∪…∪Rk，关系模式的集合用ρ表示，ρ={R1，R2，…，Rk}。用 ρ代替R 的过程称为关系模式的分解。这里ρ称为R 的一个分解，也称为数据库模式。
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3.1 无损连接的分解

定义
设有关系模式R，F是R上的函数依赖集， ρ={R1，R2，…，Rk}。如果对R中满足F的每一个关系r，有r =ΠR1®∞ΠR2®∞…∞ΠRk®，那么就称分解ρ相对于F是“无损连接分解”；否则称为“损失分解”。
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3.2 无损分解测试算法

无损分解测试算法
输入：关系模式R（A1，A2，…，An ），F 是R上的函数依赖集， R的一个分解ρ={R1， R2，…，Rk}。
输出：判断ρ相对于F是否为无损连接分解

构造一个k行n列的表格Rρ，表中每一列对应一个属性Aj （ 1≤j≤n ），每 一 行 对 应 一 个 模 式 Ri （1≤i≤k）。如果Aj在Ri 中，则在表中的第i行第j列处填上符号aj，否则填上 bij。

把表格看成模式R的一个关系，根据F中的每个函数依赖，修改表中元素的符号，其方法如下。
 对F中的某个函数依赖X→Y，在表中寻找X分量上相等的行，把这些行的Y分量也都改成一致。具体做法是分别对Y分量上的每一列做修改。
 如果列中有一个是aj，那么这一列上（X相同的行）的元素都改成aj；
 如果列中没有aj，那么这一列上（X相同的行）的元素都改成bij（下标ij取i最小的那个）。
 对F中所有的函数依赖，反复地执行上述的修改操作，一直到表格不能再修改为止（这个过程
称为“追踪” 过程）。

若修改到最后，表中有一行全为a，即a1a2…an，那么称 ρ 相对于 F 是无损连接分解。
[例]
设有关系模式R(A，B，C，D)，R分解成 ρ={AB，BC，CD}，如果在R上成立的函数依赖集F={B→A，C→D}，那么 ρ 相对于 F 是否为无损连接分解？

3.3 保持函数依赖的分解

定义：
设有关系模式R(U )，F 是R(U )上的函数依赖集，Z 是属性集U上的一个子集，ρ={R1， R2，…，Rk}是R 的一个分解。

一个无损连接分解不一定是保持函数依赖的；
一个保持函数依赖的分解也不一定是无损连接的。

四、关系模式的范式

4.1 第一范式

定义：如果关系模式R所有的属性均为原子属性，即每个属性都是不可再分的，则称R属于第一范式，简称1NF，记作R∈1NF。
 1NF是关系模式应具备的最起码的条件。
 第一范式可能具有大量的数据冗余，存在插入异常、删除异常和更新异常等弊端。
 如关系模式SCD属于1NF，它既存在完全函数依赖，又存在部分函数依赖和传递函数依赖 。
 克服这些弊端的方法是用投影运算将关系分解，去掉过于复杂的函数依赖关系，向更高一级的范式进行转换。

4.2 第二范式

如果关系模式R∈1NF，且每个非主属性都完全函数依赖于R的主码，则称R属于第二范式，简称2NF，记作R∈2NF 。
例子1：关系模式TC（T，C）:主码→（T，C）；主属性→ T、C
不存在非主属性对主码的部分函数依赖，因此TC∈2NF。
例子2：在关系模式SCD中：SNO，CNO为主属性；AGE，DEPT，SN，MN，SCORE均为非主属性；
由SCD分解的三个关系模式S，D，SC，其中S的主码为SNO，D的主码为DEPT，都是单属性，不可能存在部分函数依赖。

从1NF关系中消除非主属性对主码的部分函数依赖，则可得到2NF关系；
如果R的主码为单属性，或R的全体属性均为主属性，则R∈2NF。
2NF规范化：
2NF规范化是指把1NF关系模式通过投影分解，转换成2NF关系模式的集合。 [例] 将SCD(SNo，SN，Age，Dept，MN，CNo，Score)规范为2NF。
例子：SNO→SN, SNO→AGE, SNO→DEPT,（SNO，CNO）→ SCORE

2NF的缺点：
数据冗余：每个系名和系主任的名字存储的次数等于该系的学生人数
插入异常：当一个新系没有招生时，有关该系的信息无法插入
删除异常：某系学生全部毕业而没有招生时，删除全部学生的记录也随之删除了该系的有关信息
更新异常：更换系主任时，仍需改动较多的学生记录

4.3 第三范式

定义：
如果关系模式R∈2NF，且每个非主属性都不传递函数依赖于R的主码，则称R属于第三范式，简称3NF，记作R∈3NF。

3NF的规范化
算法1 把一个关系模式分解为3NF，使它具有保持函数依赖性。
输入：关系模式R和R的最小函数依赖集Fmin
输出：R的一个保持函数依赖的分解ρ={R1，R2，…，Rk}，每个Ri相对于ΠR1(Fmin)是3NF模式。
 (1)如果Fmin中有一函数依赖X→A，且XA=R，则输出ρ={R}，转（4）。
 (2)如果R中某些属性与Fmin中所有依赖的左部和右部都无关，则将它们构成关系模式，从R中将它们分出去，单独构成一个模式。
 (3)对于Fmin中的每一个函数依赖X→A，都单独构成一个关系子模式XA。若Fmin中有X→A1，X→A2，…，X→An，则可以用模式XA1A2…An取代n个模式XA1，XA2，…，XAn。
 (4)停止分解，输出ρ
[例]将SD(SNo，SN，Age，Dept，MN)规范到3NF且具有保持函数依赖性。
 求出关系模式SD的最小函数依赖集Fmin={SNo →SN，SNo→Age，SNo →Dept，Dept →MN}
 根据算法中（1），F中没有满足条件的函数依赖
 根据算法中（2），F中没有满足条件的函数依赖
 根据算法中（3），将R分解为S={SNo，SN，Age，Dept}，D={Dept，MN}

算法2 把一个关系模式分解为3NF，使它既具有无损连接性又具有保持函数依赖性。
输入：关系模式R和R的最小函数依赖集Fmin
输出：R的一个分解ρ={R1，R2，…，Rk}，Ri为3NF， ρ具有无损连接性和保持函数依赖性
 (1)根据3NF规范化算法求出保持函数依赖的分解：ρ={R1， R2，…，Rk}。
 (2)判定ρ是否具有无损连接性，若是，转（4）。
 (3)令ρ=ρ∪{X}={R1，R2，…，Rk，X}，其中X是R的候选码。
 (4)输出ρ
[例]将SD(SNo，SN，Age，Dept，MN)规范到3NF。

3NF解决了2NF中存在的四个问题：
（1）数据冗余降低了
（2）不存在插入异常
（3）不存在删除异常
（4）不存在更新异常

4.4 BC 范式

定义
如果关系模式R∈1NF，且所有的函数依赖X→Y（Y∉X），决定因素X都包含了R的一个候选码，则称 R 属于 BC 范式 ，记作R∈BCNF。
BCNF 具有如下性质 ：
如果R∈BCNF，则R也是3NF 。如果R∈3NF，则R不一定是BCNF 。

算法 把一个关系模式分解为BCNF
输入：关系模式R和R的函数依赖集F
输出：R的一个无损连接分解ρ={R1，R2，…，Rk}，每个Ri相对于ΠRi(F)是BCNF模式。
（1）令ρ={R}。
（2）如果ρ中所有模式都是BCNF，则转（4）。
（3）如果ρ中有一个关系模式S不是BCNF，则S中必能找到一个函数依赖X→A且X不是S的候选码， 且A不属于X，设S1=XA，S2=S-(A－X)，用分解{S1， S2}代替S，转（2）。
（4）分解结束，输出ρ。
[例] 将SNC(SNo，SN，CNo，Score)规范到BCNF。
候选码：（SNo，CNo）和（SN，CNo）
函数依赖：F={SNo→SN，SN→SNo，(SNo，CNo)→Score，(SN，CNo)→Score}
（1）令ρ={SNC(SNo，SN，CNo，Score)}。
（2）经过前面分析可知，ρ中关系模式不属于BCNF。
（3）用分解{S1(SNo，SN)，S2(SNo，CNo，Score)}代替SNC。
（4）分解结果为：S1(SNo，SN)描述学生实体；S2(SNo，CNo，Score)描述学生与课程的联系

五、 关系模式的规范化

一个低一级范式的关系模式，通过模式分解转化为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种分解过程叫作关系模式的规范化。
关系模式规范化的目的和原则：
规范化的目的就是使结构合理，消除存储异常，使数据冗余尽量小，便于插入、删除和更新。
规范化的基本原则就是遵循“一事一地”的原则。
关系模式规范化的步骤：

关系模式规范化的要求：
保证分解后的关系模式与原关系模式是等价的
等价的三种标准：
分解要具有无损连接性；——保证不丢失信息
分解要具有函数依赖保持性；———减轻或解决各种异常情况
分解既要具有无损连接性，又要具有函数依赖保持性。