概率论与数理统计浙大版第二章Review

随机变量是将随机试验的每一个结果（基本事件）与实数对应起来。

若X=X(e)是定义在样本空间的实值单值函数，则称X=X(e)为随机变量。

随机变量的取值随试验结果而定，事先不知道取什么值，且取值具有一定概率。

随机变量分为离散型、连续性和其他类型。

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离散型随机变量：全部取值是有限个或可列无限多个的随机变量。

几种重要的离散型随机变量：

(0-1)分布/伯努利分布：

    只有两种可能取值（样本空间只含两个元素）

二项分布：

    试验只有两种可能结果，将其独立重复n次

    每次重复时基本事件概率保持不变

    各次试验结果相互不影响

    

    两个参数n（独立重复的次数），p（）

泊松分布：

    随机变量X的所有取值为全体自然数（从0开始）

    常用来描述一段时间（或空间）内稀有事件发生的概率

    一个参数，意义为该时间段内稀有事件发生次数的均值（期望）

    

    可以用泊松分布逼近二项分布。当时，用参数的泊松分布逼近

几何分布：

    只有两种结果，每次试验保持不变，每次试验相互独立

    进行k次重复试验，直到出现一次A（或A非）为止

    

负二项分布/帕斯卡分布：

    进行k次重复试验，直到出现r次A（或A非）为止

    其它同几何分布

    

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随机变量的分布函数：

    

    

性质：

    是一个不减函数

    

    右连续

    

    

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连续型随机变量：不能一一列举可能取值的随机变量。它无分布律，只能用分布函数（区间）来描述。连续性随即变量的分布函数的区间开闭无所谓。

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概率密度函数：连续性随机变量特有的。若，则f(t)为概率密度函数。

性质：

    

    

    

    改变f(x)在某点的取值不影响F(x)的值，因此并不在乎改变f(x)的某个值

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几种重要的连续型随机变量：

均匀分布：

    X~U(a,b)

    

指数分布：

    与泊松分布对应，常用来描述模拟事件的时间间隔，如下

    ∵ 两次事件发生的间隔大于t → t时间内发生的次数为0

    ∴ 

    ∴ 

    ∴ 

    令（指单位时间内发生次数，为两次之间间隔时间，正好与指数分布意义相符）

    （指数分布概率密度函数），按照要求y应>0

    指数分布具有无记忆性：

正态分布：

    X~ 

    

    曲线关于对称，当，因此越小，x值落在附近的概率就越大。

f（x）的拐点在处。

    当时为标准正态分布，概率密度函数为，分布函数为。

    

    

    

    ，因此正态分布落在区间内基本是必然。

    标准正态分布的上分位点

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随机变量的函数的分布

若

    ①随机变量X具有概率密度函数f(x)

    ②且x的取值范围是（-∞，+∞）

    ③且随机变量X的函数Y=g(X)处处可导且单调

那么

    ，（h（y）是g（x）的反函数）